Свойства неопределенного интеграла

1. Константу можно выносить за знак интеграла:

$\int{kf\left( x \right)dx}=k\cdot \int{f\left( x \right)dx}$

ПРИМЕР 1

Задание	Найти интеграл $\int{4{{x}^{2}}dx}$
Решение	Применим свойство №1: $\int{4{{x}^{2}}dx}=4\cdot \int{{{x}^{2}}dx}=4\cdot \frac{{{x}^{3}}}{3}+C=\frac{4{{x}^{3}}}{3}+C$
Ответ

2. Интеграл суммы/разности равен сумме/разности интегралов от каждого из слагаемых:

$\int{\left[ f\left( x \right)\pm g\left( x \right) \right]dx}=\int{f\left( x \right)dx}\pm \int{g\left( x \right)dx}$

ПРИМЕР 2

Задание

Решить интеграл $\int{\left( x+\sin x \right)}dx$

Решение

Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

$\int{\left( x+\sin x \right)}dx=\int{xdx}+\int{\sin xdx}$

Каждый из полученных интегралов находим с помощью таблицы интегралов:

$\int{\left( x+\sin x \right)}dx=\frac{{{x}^{2}}}{2}-\cos x+C$

Ответ

3. Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

${{\left( \int{f\left( x \right)dx} \right)}^{\prime }}=f\left( x \right)$

ПРИМЕР 3

Задание	Найти ${{\left( \int{{{x}^{2}}dx} \right)}^{\prime }}$
Решение	Согласно свойству имеем, что ${{\left( \int{{{x}^{2}}dx} \right)}^{\prime }}={{x}^{2}}$
Ответ	${{\left( \int{{{x}^{2}}dx} \right)}^{\prime }}={{x}^{2}}$

4. Интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования:

$\int{df\left( x \right)dx}=f\left( x \right)+C$

ПРИМЕР 4

Задание	Решить интеграл $\int{d\left( \arcsin x \right)dx}$
Решение	Согласно свойству $\int{d\left( \arcsin x \right)dx}=\arcsin x+C$
Ответ	$\int{d\left( \arcsin x \right)dx}=\arcsin x+C$

5. Если $\int{f\left( x \right)dx}=F\left( x \right)+C$ , то

$\int{f\left( kx+b \right)dx}=\frac{1}{k}F\left( kx+b \right)+C$

ПРИМЕР 5

Задание	Известно, что $\int{3{{x}^{2}}dx}={{x}^{3}}+C$ . Найти $\int{3\cdot {{\left( 2x-4 \right)}^{2}}dx}$
Решение	Согласно свойству делаем вывод, что для $k=2$ $\int{3\cdot {{\left( 2x-4 \right)}^{2}}dx}=\frac{1}{2}{{\left( 2x-4 \right)}^{3}}+C=\frac{{{\left( 2x-4 \right)}^{3}}}{2}+C$
Ответ