Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Свойства неопределенного интеграла

1. Константу можно выносить за знак интеграла:

    \[\int{kf\left( x \right)dx}=k\cdot \int{f\left( x \right)dx}\]

ПРИМЕР 1
Задание Найти интеграл \int{4{{x}^{2}}dx}
Решение Применим свойство №1:

    \[\int{4{{x}^{2}}dx}=4\cdot \int{{{x}^{2}}dx}=4\cdot \frac{{{x}^{3}}}{3}+C=\frac{4{{x}^{3}}}{3}+C\]

Ответ

2. Интеграл суммы/разности равен сумме/разности интегралов от каждого из слагаемых:

    \[\int{\left[ f\left( x \right)\pm g\left( x \right) \right]dx}=\int{f\left( x \right)dx}\pm \int{g\left( x \right)dx}\]

ПРИМЕР 2
Задание Решить интеграл \int{\left( x+\sin x \right)}dx
Решение Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

    \[\int{\left( x+\sin x \right)}dx=\int{xdx}+\int{\sin xdx}\]

Каждый из полученных интегралов находим с помощью таблицы интегралов:

    \[\int{\left( x+\sin x \right)}dx=\frac{{{x}^{2}}}{2}-\cos x+C\]

Ответ

3. Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

    \[{{\left( \int{f\left( x \right)dx} \right)}^{\prime }}=f\left( x \right)\]

ПРИМЕР 3
Задание Найти {{\left( \int{{{x}^{2}}dx} \right)}^{\prime }}
Решение Согласно свойству имеем, что

    \[{{\left( \int{{{x}^{2}}dx} \right)}^{\prime }}={{x}^{2}}\]

Ответ {{\left( \int{{{x}^{2}}dx} \right)}^{\prime }}={{x}^{2}}

4. Интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования:

    \[\int{df\left( x \right)dx}=f\left( x \right)+C\]

ПРИМЕР 4
Задание Решить интеграл \int{d\left( \arcsin x \right)dx}
Решение Согласно свойству

    \[\int{d\left( \arcsin x \right)dx}=\arcsin x+C\]

Ответ \int{d\left( \arcsin x \right)dx}=\arcsin x+C

5. Если \int{f\left( x \right)dx}=F\left( x \right)+C, то

    \[\int{f\left( kx+b \right)dx}=\frac{1}{k}F\left( kx+b \right)+C\]

ПРИМЕР 5
Задание Известно, что \int{3{{x}^{2}}dx}={{x}^{3}}+C. Найти \int{3\cdot {{\left( 2x-4 \right)}^{2}}dx}
Решение Согласно свойству делаем вывод, что для k=2

    \[\int{3\cdot {{\left( 2x-4 \right)}^{2}}dx}=\frac{1}{2}{{\left( 2x-4 \right)}^{3}}+C=\frac{{{\left( 2x-4 \right)}^{3}}}{2}+C\]

Ответ

6. Интеграл от производной некоторой функции равен этой функции плюс константа интегрирования:

    \[\int{{F}'\left( x \right)dx}=F\left( x \right)+C\]

ПРИМЕР 6
Задание Доказать, что

    \[\int{{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}dx}={{x}^{2}}+C\]

Доказательство Найдем интеграл \int{{{( {{x}^{2}} )}^{\prime }}dx} . Производная подынтегральной функции равна:

    \[{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=2x\]

Тогда

    \[\int{{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}dx}=\int{2xdx}\]

По свойствам интеграла константу можно выносить за знак интеграла:

    \[\int{{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}dx}=2\int{xdx}\]

Применяем таблицу интегралов:

    \[\int{{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}dx}=2\int{xdx}=2\cdot \frac{{{x}^{2}}}{2}+C={{x}^{2}}+C\]

Итак, \int{{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}dx}={{x}^{2}}+C

Что и требовалось доказать.