Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Двойной интеграл

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Обобщением определенного интеграла на случай функции двух переменных есть двойной интеграл.

Определение двойного интеграла

Пусть в замкнутой области D, принадлежащей плоскости Oxy, задана непрерывная функция u=f\left( x;\ y \right). Разобьем эту область на n элементарных областей {{D}_{i}}\ \left( i=\overline{1;\ n} \right), площади которых будем обозначать как \Delta {{S}_{i}}, а наибольшее расстояние между точками соответствующей области – через {{d}_{i}} (рис. 1).

В каждой элементарной области {{D}_{i}} выберем произвольную точку {{M}_{i}}\left( {{x}_{i}};\ {{y}_{i}} \right). Значение функции f\left( {{x}_{i}};\ {{y}_{i}} \right) в этой точке умножим на площадь соответствующей элементарной области и все такие произведения просуммируем:

    \[f\left( {{x}_{1}};\ {{y}_{1}} \right)\Delta {{S}_{1}}+f\left( {{x}_{2}};\ {{y}_{2}} \right)\Delta {{S}_{2}}+...+f\left( {{x}_{n}};\ {{y}_{n}} \right)\Delta {{S}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{f\left( {{x}_{i}};\ {{y}_{i}} \right)\Delta {{S}_{i}}}\]

Полученная сумма называется интегральной суммой функции u=f\left( x;\ y \right) в области D.

Найдем предел указанной интегральной суммы при n\to \infty таким образом, чтобы \max {{d}_{i}}\to 0. Если такой предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на элементарные области, ни от способа выбора в них точек {{M}_{i}}, то он называется двойным интегралом от функции u=f\left( x;\ y \right) по области D и обозначается \iint\limits_{D}{f\left( x;\ y \right)dxdy}=\iint\limits_{D}{f\left( x;\ y \right)ds}. Итак, двойной интеграл определяется равенством

    \[\iint\limits_{D}{f\left( x;\ y \right)dxdy}=\underset{\max {{d}_{i}}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=1}^{n}{f\left( {{x}_{i}};\ {{y}_{i}} \right)\Delta {{S}_{i}}}\]

Область D называется областью интегрирования, x и y – переменные интегрирования, функция u=f\left( x;\ y \right) – подынтегральной функцией, которая является интегрируемой в области D; dxdy=dS – элементом площади.

Свойства двойного интеграла

1. Константу можно выносить за знак двойного интеграла:

    \[\iint\limits_{D}{C\cdot f\left( x;\ y \right)dxdy}=C\cdot \iint\limits_{D}{f\left( x;\ y \right)dxdy},\]

где C=\text{const}

2. Двойной интеграл суммы/разности двух функций равен сумме/разности интегралов от каждой из них:

    \[\iint\limits_{D}{\left[ f\left( x;\ y \right)\pm g\left( x;\ y \right) \right]dxdy}=\iint\limits_{D}{f\left( x;\ y \right)dxdy}\pm \iint\limits_{D}{g\left( x;\ y \right)dxdy}\]

ЗАМЕЧАНИЕ
Данное свойство распространяется и на большее число слагаемых.

3. Если область интегрирования D можно разбить на две области {{D}_{1}} и {{D}_{2}}, например, как это показано на рисунке 2, то

    \[\iint\limits_{D}{f\left( x;\ y \right)dxdy}=\iint\limits_{{{D}_{1}}}{f\left( x;\ y \right)dxdy}+\iint\limits_{{{D}_{2}}}{f\left( x;\ y \right)dxdy}\]

4. Если в области интегрирования D функция f\left( x;\ y \right)\ge 0, то и двойной интеграл \iint\limits_{D}{f\left( x;\ y \right)dxdy}\ge 0.

5. Если функции f\left( x;\ y \right) и g\left( x;\ y \right) в области D удовлетворяют неравенству f\left( x;\ y \right)\ge g\left( x;\ y \right), то справедливо и неравенство

    \[\iint\limits_{D}{f\left( x;\ y \right)dxdy}\ge \iint\limits_{D}{g\left( x;\ y \right)dxdy}\]

6. \iint\limits_{D}{dxdy}=\iint\limits_{D}{dS}=S, где S – это площадь области D.

7. Если функция u=f\left( x;\ y \right) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой равна S, то

    \[m\cdot S\le \iint\limits_{D}{f\left( x;\ y \right)dxdy}\le M\cdot S\]

где m и M – наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области D соответственно.

8. Если функция u=f\left( x;\ y \right) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой равна S, то в этой области существует такая точка {{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}} \right), что имеет место равенство:

    \[\iint\limits_{D}{f\left( x;\ y \right)dxdy}=f\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}} \right)\cdot S\]

Величина f\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}} \right)=\frac{1}{S}\iint\limits_{D}{f\left( x;\ y \right)dxdy} называется средним значением функции u=f\left( x;\ y \right) в област D.

Пусть область интегрирования D – это прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям и которые определяются уравнениями x=a, x=b \left( a\le x\le b \right); y=c, y=d \left( c\le y\le d \right) (рис. 3). В этом случае двойной интеграл вычисляется по одной из формул:

    \[\iint\limits_{D}{f\left( x;\ y \right)dxdy}=\int\limits_{a}^{b}{dx}\int\limits_{c}^{d}{f\left( x;\ y \right)dy}\]

или

    \[\iint\limits_{D}{f\left( x;\ y \right)dxdy}=\int\limits_{c}^{d}{dy}\int\limits_{a}^{b}{f\left( x;\ y \right)dx}\]

Интегралы, стоящие в правых частях этих формул, называются повторными или двукратными. В первой формуле интеграл \int\limits_{c}^{d}{f\left( x;\ y \right)dy} называется внутренним. Он вычисляется в предположении, что переменная x сохраняет на отрезке интегрирования \left[ c;\ d \right] постоянное фиксированное значение (то есть является константой). При таком предположении подынтегральная функция f\left( x;\ y \right) – функция одной переменной y. В результате вычисления этого интеграла получаем функцию переменной x.

ЗАМЕЧАНИЕ
Вычисление повторного интеграла нужно начинать с вычисления внутреннего интеграла.

После того, как эта функция определена, нужно выполнить внешнее интегрирование – проинтегрировать полученную функцию по переменной x. В результате второго интегрирования получаем уже число.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Вычислить двойной интеграл \iint\limits_{D}{\left( 6x{{y}^{2}}-12{{x}^{2}}y \right)dxdy}, где область D – квадрат со сторонами x=0, x=1, y=2, y=3. В повторном интеграле внутренний интеграл вначале вычислить по переменной y, а внешний – по x. Вычислить этот же интеграл, изменив порядок интегрирования.
Решение Вначале изобразим область интегрирования (рис. 4). Запишем заданный двойной интеграл через повторные: \iint\limits_{D}{\left( 6x{{y}^{2}}-12{{x}^{2}}y \right)dxdy}=\int\limits_{0}^{1}{dx}\int\limits_{2}^{3}{\left( 6x{{y}^{2}}-12{{x}^{2}}y \right)dy}.

Внутреннее (первое) интегрирование будем выполнять по переменной y (при этом считаем, что x – константа), а внешнее (второе) – по переменной x:

    \[\iint\limits_{D}{\left( 6x{{y}^{2}}-12{{x}^{2}}y \right)dxdy}=\int\limits_{0}^{1}{dx}\int\limits_{2}^{3}{\left( 6x{{y}^{2}}-12{{x}^{2}}y \right)dy}=\]

    \[=\int\limits_{0}^{1}{dx}\left[ 6x\int\limits_{2}^{3}{{{y}^{2}}dy}-12{{x}^{2}}\int\limits_{2}^{3}{ydy} \right]=\int\limits_{0}^{1}{\left( 6x\cdot \left. \frac{{{y}^{3}}}{3} \right|_{2}^{3}-12{{x}^{2}}\cdot \left. \frac{{{y}^{2}}}{2} \right|_{2}^{3} \right)dx}=\]

    \[=\int\limits_{0}^{1}{\left[ 2x\left( {{3}^{3}}-{{2}^{3}} \right)-6{{x}^{2}}\left( {{3}^{2}}-{{2}^{2}} \right) \right]dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 38x-30{{x}^{2}} \right)dx}=\]

    \[=\int\limits_{0}^{1}{38xdx}-\int\limits_{0}^{1}{30{{x}^{2}}dx}=38\int\limits_{0}^{1}{xdx}-30\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}dx}=38\cdot \left. \frac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{0}^{1}-30\cdot \left. \frac{{{x}^{3}}}{3} \right|_{0}^{1}=\]

    \[=19\left( {{1}^{2}}-{{0}^{2}} \right)-10\left( {{1}^{3}}-{{0}^{3}} \right)=19-10=9\]

Вычислим теперь заданный по условию двойной интеграл, сменив порядок интегрирования: внутреннее интегрирование будем проводить по переменной x (считая, что y есть постоянной), а внешнее – по переменной y:

    \[\iint\limits_{D}{\left( 6x{{y}^{2}}-12{{x}^{2}}y \right)dxdy}=\int\limits_{2}^{3}{dy}\int\limits_{0}^{1}{\left( 6x{{y}^{2}}-12{{x}^{2}}y \right)dx}=\]

    \[=\int\limits_{2}^{3}{\left[ 6{{y}^{2}}\int\limits_{0}^{1}{xdx}-12y\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}dx} \right]dy}=\int\limits_{2}^{3}{\left[ 6{{y}^{2}}\cdot \left. \frac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{0}^{1}-12y\cdot \left. \frac{{{x}^{3}}}{3} \right|_{0}^{1} \right]dy}=\]

    \[=\int\limits_{2}^{3}{\left( 3{{y}^{2}}-4y \right)dy}=\left. \left( 3\cdot \frac{{{y}^{3}}}{3}-4\cdot \frac{{{y}^{2}}}{2} \right) \right|_{2}^{3}=27-8-2\left( 9-4 \right)=19-10=9\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Вычислить двойной интеграл \iint\limits_{D}{\left( {{x}^{2}}+2y \right)dxdy}, если область D ограничена линиями y={{x}^{2}}, x=2, y=2x-1. Вычислить этот же интеграл, изменив порядок интегрирования.
Решение Строим заданную область D (рис. 5). Вначале внутреннее интегрирование будем проводить по переменной y, а внешнее – по x:

    \[\iint\limits_{D}{\left( {{x}^{2}}+2y \right)dxdy}=\int\limits_{a}^{b}{dx}\int\limits_{{{\phi }_{1}}\left( x \right)}^{{{\phi }_{2}}\left( x \right)}{\left( {{x}^{2}}+2y \right)dy}\]

Контур области D пересекается любой прямой, параллельной оси ординат, в двух точках (рис. 6).

Найдем пределы интегрирования. Переменная x изменяется от абсциссы точки A к абсциссе точек B и C. Координаты точки A найдем как координаты точки пересечения графиков функций y={{x}^{2}} и y=2x-1:

    \[\left\{ \begin{matrix} 				   y={{x}^{2}}, \\  				  y=2x-1 \\  				\end{matrix} \right.\Rightarrow {{x}^{2}}=2x-1\Rightarrow {{x}^{2}}-2x+1=0\Rightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}=0\Rightarrow {{x}_{A}}=1\]

Так как точки B и C лежать на прямой x=2, то {{x}_{B}}={{x}_{C}}=2. Итак, 1\le x\le 2. Далее на отрезке \left[ 1;\ 2 \right] выбираем произвольную точку x, через нее проводим прямую, параллельную оси Oy, и на этой прямой рассмотрим отрезок KL, принадлежащий области D.

Область D ограничена снизу прямой y=2x-1, а сверху – веткой параболы y={{x}^{2}}. Переменная y изменяется в заданной области D от ее значения 2x-1 на нижней части контура ABC до ее значения {{x}^{2}} на верхней части этого контура.

Замечание. Уравнения линий, ограничивающих контур, должны быть разрешены относительно той переменной, относительно которой находится внутренний интеграл.

Таким образом, 2x-1\le y\le {{x}^{2}}, а тогда область D задается следующими неравенствами:

    \[D:\left\{ \begin{matrix} 				   1\le x\le 2, \\  				  2x-1\le y\le {{x}^{2}}. \\  				\end{matrix} \right.\]

Итак,

    \[\iint\limits_{D}{\left( {{x}^{2}}+2y \right)dxdy}=\int\limits_{1}^{2}{dx}\int\limits_{2x-1}^{{{x}^{2}}}{\left( {{x}^{2}}+2y \right)dy}=\int\limits_{1}^{2}{dx}\left. \left( {{x}^{2}}y+{{y}^{2}} \right) \right|_{2x-1}^{{{x}^{2}}}=\]

    \[=\int\limits_{1}^{2}{\left[ {{x}^{2}}\cdot {{x}^{2}}+{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}-\left( {{x}^{2}}\cdot \left( 2x-1 \right)+{{\left( 2x-1 \right)}^{2}} \right) \right]dx}=\]

    \[=\int\limits_{1}^{2}{\left( 2{{x}^{4}}-2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4x-1 \right)dx}=\left. \left( \frac{2{{x}^{5}}}{5}-\frac{{{x}^{4}}}{2}-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x \right) \right|_{1}^{2}=\]

    \[=\frac{64}{5}-8-8+8-2-\left( \frac{2}{5}-\frac{1}{2}-1+2-1 \right)=\frac{29}{10}\]

Вычислим теперь рассматриваемый двойной интеграл, изменив порядок интегрирования: внутреннее интегрирование будем проводить по переменной x, а внешнее – по y. То есть, перейдя к повторным интегралам, получим:

    \[\iint\limits_{D}{\left( {{x}^{2}}+2y \right)dxdy}=\int\limits_{c}^{d}{dy}\int\limits_{{{\psi }_{1}}\left( y \right)}^{{{\psi }_{2}}\left( y \right)}{\left( {{x}^{2}}+2y \right)dx}\]

С рисунка 6 области D видно, что левая граница контура области – одна линия (положительная ветка параболы y={{x}^{2}}), а его правая часть состоит из двух линий AB (отрезок прямой y=2x-1) и BC (отрезок прямой x=2), то есть задается разными уравнениями. В этом случае область D нужно разбить на части так, чтобы каждая из них справа была ограничена только одной линией. В данном случае такими частями будут {{D}_{1}}-ABF и {{D}_{2}}-BCF. Заданная область D будет суммой областей {{D}_{1}} и {{D}_{2}} (рис. 7). Тогда искомый интеграл будет равен сумме интегралов по каждой из областей:

    \[\iint\limits_{D}{\left( {{x}^{2}}+2y \right)dxdy}=\iint\limits_{{{D}_{1}}}{\left( {{x}^{2}}+2y \right)dxdy}+\iint\limits_{{{D}_{2}}}{\left( {{x}^{2}}+2y \right)dxdy}\]

Поскольку в данном случае внутреннее интегрирование проводится по переменной x, то уравнения ограничивающих линий нужно разрешить относительно этой переменной:

    \[AB:y=2x-1\Rightarrow x=\frac{y+1}{2}; \qquad AC:y={{x}^{2}}\Rightarrow x=\sqrt{y}\]

Найдем пределы интегрирования для каждой из областей. В области {{D}_{1}} переменная y изменяется от ординаты точки A до ординат точек B и F. Точка A принадлежит параболе y={{x}^{2}} и выше было найдено, что абсцисса этой точки {{x}_{A}}=1, тогда {{y}_{A}}={{1}^{2}}=1. Точка B – точка пересечения двух прямых x=2 и y=2x-1, а тогда {{y}_{B}}=2\cdot 2-1=3. Итак имеем, что 1\le y\le 3. Переменная x в области {{D}_{1}} изменяется от ветки параболы x=\sqrt{y} до прямой x=\frac{y+1}{2}, то есть {{D}_{1}}:\left\{ \begin{matrix} 				   1\le y\le 3, \\  				  \sqrt{y}\le x\le \frac{y+1}{2}. \\  				\end{matrix} \right. Аналогично для области {{D}_{2}} находим, что {{D}_{2}}:\left\{ \begin{matrix} 				   3\le y\le 4, \\  				  \sqrt{y}\le x\le 2. \\  				\end{matrix} \right.

Таким образом,

    \[\iint\limits_{D}{\left( {{x}^{2}}+2y \right)dxdy}=\int\limits_{1}^{3}{dy}\int\limits_{\sqrt{y}}^{\frac{y+1}{2}}{\left( {{x}^{2}}+2y \right)dx}+\int\limits_{3}^{4}{dy}\int\limits_{\sqrt{y}}^{2}{\left( {{x}^{2}}+2y \right)dx}=\]

    \[=\int\limits_{1}^{3}{\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}+2xy \right) \right|_{\sqrt{y}}^{\frac{y+1}{2}}dy}+\int\limits_{3}^{4}{\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}+2xy \right) \right|_{\sqrt{y}}^{2}dy}=\]

    \[=\int\limits_{1}^{3}{\left( \frac{{{\left( y+1 \right)}^{3}}}{24}+{{y}^{2}}+y-\frac{7}{3}{{y}^{\frac{3}{2}}} \right)dy}+\int\limits_{3}^{4}{\left( \frac{8}{3}+4y-\frac{7}{3}{{y}^{\frac{3}{2}}} \right)dy}=\]

    \[=\left. \left[ \frac{{{\left( y+1 \right)}^{4}}}{96}+\frac{{{y}^{3}}}{3}+\frac{{{y}^{2}}}{2}-\frac{14}{15}\sqrt{{{y}^{5}}} \right] \right|_{1}^{3}+\left. \left[ \frac{8y}{3}+2{{y}^{2}}-\frac{14}{15}\sqrt{{{y}^{5}}} \right] \right|_{3}^{4}=\]

    \[=\left[ \frac{8}{3}+9+\frac{9}{2}-\frac{42\sqrt{3}}{5}-\left( \frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{14}{15} \right) \right]+\]

    \[+\left[ \frac{32}{3}+32-\frac{448}{15}-\left( 8+18-\frac{42\sqrt{3}}{5} \right) \right]=\frac{29}{10}\]

Ответ