Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Определенный интеграл

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Определённый интеграл от функции f\left( x \right) на отрезке \left[ a;\ b \right] – предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, если он существует независимо от разбиения и выбора точек внутри элементарных отрезков:

    \[\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\underset{\Delta {{x}_{i}}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=0}^{n}{f\left( {{\xi }_{i}} \right)\Delta {{x}_{i}}}\]

Например. \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}dx}=\left. \frac{{{x}^{3}}}{3} \right|_{0}^{1}=\frac{1}{3}\cdot \left( {{1}^{3}}-{{0}^{3}} \right)=\frac{1}{3}

Детальный разбор понятия «Определенный интеграл»

Рассмотрим функцию y=f\left( x \right), определенную и непрерывную на некотором отрезке \left[ a;\ b \right]. Выполним разбиение заданного отрезка с помощью точек {{x}_{0}}=a<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<...<{{x}_{n-1}}<{{x}_{n}}=b на n частичных отрезков \left[ {{x}_{0}};\ {{x}_{1}} \right], \left[ {{x}_{1}};\ {{x}_{2}} \right],…, \left[ {{x}_{n-1}};\ {{x}_{n}} \right]. На каждом частичном отрезке \left[ {{x}_{i-1}};\ {{x}_{i}} \right],\ i=\overline{1;\ n} выберем произвольную точку {{\xi }_{i}}\in \left[ {{x}_{i-1}};\ {{x}_{i}} \right] и вычислим значение f\left( {{\xi }_{i}} \right) заданной функции в ней. Умножим полученное значение на длину \Delta {{x}_{i}}={{x}_{i}}-{{x}_{i-1}} соответствующего частичного отрезка: f\left( {{\xi }_{i}} \right)\cdot \Delta {{x}_{i}}. Составим сумму всех таких произведений:

    \[\sigma =\sum\limits_{i=1}^{n}{f\left( {{\xi }_{i}} \right)\cdot \Delta {{x}_{i}}}=f\left( {{\xi }_{1}} \right)\cdot \Delta {{x}_{1}}+f\left( {{\xi }_{2}} \right)\cdot \Delta {{x}_{2}}+...+f\left( {{\xi }_{n}} \right)\cdot \Delta {{x}_{n}}\]

Такая сумма \sigma называется интегральной суммой функции y=f\left( x \right) на отрезке \left[ a;\ b \right].

Пусть d – длина наибольшего частичного отрезка: d=\underset{i=\overline{1;\ n}}{\mathop{\max }}\,\Delta {{x}_{i}}. Если предел I интегральной суммы \sum\limits_{i=1}^{n}{f\left( {{\xi }_{i}} \right)\cdot \Delta {{x}_{i}}}, когда максимальный диаметр разбиения d\to 0, не зависит ни от способа разбиения отрезка \left[ a;\ b \right] на частичные отрезки, ни от выбора точек {{\xi }_{i}} в них, то число I называется определенным интегралом от заданной функции y=f\left( x \right) на отрезке \left[ a;\ b \right] и обозначается \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}, то есть

    \[\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\underset{d\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=1}^{n}{f\left( {{\xi }_{i}} \right)\Delta {{x}_{i}}}\]

Здесь числа a и b называются соответственно верхним и нижним пределами интегрирования; f\left( x \right)подынтегральная функция; f\left( x \right)dxподынтегральное выражение; xпеременная интегрирования; \left[ a;\ b \right]область или отрезок интегрирования.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти интеграл по определению.

    \[ \int\limits_{0}^{1}{{{a}^{x}}dx},\ \left( a>0 \right) \]

Решение На отрезке \left[ 0;\ 1 \right] функция f\left( x \right)={{a}^{x}} является непрерывной. Согласно определению,

    \[ \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\underset{d\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=1}^{n}{f\left( {{\xi }_{i}} \right)\Delta {{x}_{i}}} \]

Разобьем отрезок интегрирования \left[ 0;\ 1 \right] на n равных частей. Так как длина указанного отрезка \Delta \,x=1-0=1, то длина элементарного (частичного) отрезка равна

    \[\Delta \,{{x}_{i}}=\frac{1}{n} \text{ } \Rightarrow  \text{ } d=\underset{i}{\mathop{\max }}\,\left\{ \Delta \,{{x}_{i}} \right\}=\frac{1}{n}\]

и разбиение

    \[{{x}_{0}}=0<{{x}_{1}}=\frac{1}{n}<{{x}_{2}}=\frac{2}{n}<...<{{x}_{n-1}}=\frac{n-1}{n}<{{x}_{n}}=\frac{n}{n}=1\]

В качестве {{\xi }_{i}}\in \left[ {{x}_{i-1}};\ {{x}_{i}} \right] выбираем правый конец частичного интервала:

    \[{{\xi }_{i}}={{x}_{i}}=\frac{i}{n}\]

Тогда имеем:

    \[\int\limits_{0}^{1}{{{a}^{x}}dx}=\underset{d=\frac{1}{n}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=1}^{n}{f\left( \frac{i}{n} \right)\cdot \frac{1}{n}}\ \left\| \begin{matrix}    \frac{1}{n}\to 0\Rightarrow  \\    \Rightarrow n\to \infty  \\  \end{matrix} \right\|=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}^{^{\frac{i}{n}}}}}=\]

    \[=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}^{^{\frac{1}{n}}}}+{{a}^{^{\frac{2}{n}}}}+...+{{a}^{^{\frac{n}{n}}}}}{n}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}^{\frac{1}{n}}}+{{\left( {{a}^{\frac{1}{n}}} \right)}^{2}}+...+{{\left( {{a}^{\frac{1}{n}}} \right)}^{n}}}{n}\]

Выражение, стоящее в числителе дроби, представляет собой сумму геометрической прогрессии, для которой {{b}_{1}}=q={{a}^{\frac{1}{n}}}. Сумму этой прогрессии вычислим по формуле:

    \[{{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}\left( {{q}^{n}}-1 \right)}{q-1}\]

Тогда будем иметь:

    \[\int\limits_{0}^{1}{{{a}^{x}}dx}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}^{\frac{1}{n}}}\left( {{\left( {{a}^{\frac{1}{n}}} \right)}^{n}}-1 \right)}{n\left( {{a}^{\frac{1}{n}}}-1 \right)}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}^{\frac{1}{n}}}\left( a-1 \right)}{n\left( {{a}^{\frac{1}{n}}}-1 \right)}\ \left\| \begin{matrix}    n=\frac{1}{t} \\    t\to 0 \\  \end{matrix} \right\|=\]

    \[=\left( a-1 \right)\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{t{{a}^{t}}}{{{a}^{t}}-1}\ \left\| \begin{matrix}    \alpha \left( x \right)\to 0 \\    {{a}^{\alpha \left( x \right)}}-1 \tilde \alpha \left( x \right)\ln a \\  \end{matrix} \right\|=\left( a-1 \right)\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{t{{a}^{t}}}{t\ln a}=\frac{a-1}{\ln a}\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{a}^{t}}=\]

    \[=\frac{a-1}{\ln a}\cdot {{a}^{0}}=\frac{a-1}{\ln a}\]

Ответ

Функция y=f\left( x \right) называется интегрируемой на отрезке \left[ a;\ b \right], если для нее на этом отрезке существует определенный интеграл \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}.

ПРИМЕР 2
Задание Исследовать функцию f\left( x \right)=C=\text{const} на интегрируемость на отрезке \left[ a;\ b \right].
Решение Рассмотрим некоторое разбиение \left\{ {{x}_{i}} \right\} заданного промежутка \left[ a;\ b \right] и некоторые промежуточные точки \left\{ {{\xi }_{i}} \right\} этого разбиения: {{\xi }_{i}}\in \left[ {{x}_{i-1}};\ {{x}_{i}} \right].

Составляем интегральную сумму

    \[\sigma =\sum\limits_{i=1}^{n}{f\left( {{\xi }_{i}} \right)\Delta \,{{x}_{i}}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{C\cdot \Delta \,{{x}_{i}}}=C\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}{\Delta \,{{x}_{i}}}=C\left( b-a \right)\]

Предел этой интегральной суммы

    \[\underset{d\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sigma =\underset{d\to 0}{\mathop{\lim }}\,C\left( b-a \right)=C\left( b-a \right)\]

Этот предел не зависит ни от разбиения, ни от выбора промежуточных точек, а поэтому функция f\left( x \right)=C=\text{const} является интегрируемой на отрезке \left[ a;\ b \right].

Ответ Функция интегрируема.
ТЕОРЕМА
Теорема Коши. Если функция y=f\left( x \right) непрерывна на некотором отрезке \left[ a;\ b \right], то на этом отрезке она является и интегрируемой.