Определенный интеграл

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Определённый интеграл от функции $f\left( x \right)$ на отрезке $\left[ a;\ b \right]$ – предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, если он существует независимо от разбиения и выбора точек внутри элементарных отрезков:

$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\underset{\Delta {{x}_{i}}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=0}^{n}{f\left( {{\xi }_{i}} \right)\Delta {{x}_{i}}}$

Например. $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}dx}=\left. \frac{{{x}^{3}}}{3} \right|_{0}^{1}=\frac{1}{3}\cdot \left( {{1}^{3}}-{{0}^{3}} \right)=\frac{1}{3}$

Детальный разбор понятия «Определенный интеграл»

Рассмотрим функцию $y=f\left( x \right)$ , определенную и непрерывную на некотором отрезке $\left[ a;\ b \right]$ . Выполним разбиение заданного отрезка с помощью точек ${{x}_{0}}=a<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<...<{{x}_{n-1}}<{{x}_{n}}=b$ на $n$ частичных отрезков $\left[ {{x}_{0}};\ {{x}_{1}} \right]$ , $\left[ {{x}_{1}};\ {{x}_{2}} \right]$ ,…, $\left[ {{x}_{n-1}};\ {{x}_{n}} \right]$ . На каждом частичном отрезке $\left[ {{x}_{i-1}};\ {{x}_{i}} \right],\ i=\overline{1;\ n}$ выберем произвольную точку ${{\xi }_{i}}\in \left[ {{x}_{i-1}};\ {{x}_{i}} \right]$ и вычислим значение $f\left( {{\xi }_{i}} \right)$ заданной функции в ней. Умножим полученное значение на длину $\Delta {{x}_{i}}={{x}_{i}}-{{x}_{i-1}}$ соответствующего частичного отрезка: $f\left( {{\xi }_{i}} \right)\cdot \Delta {{x}_{i}}$ . Составим сумму всех таких произведений:

$\sigma =\sum\limits_{i=1}^{n}{f\left( {{\xi }_{i}} \right)\cdot \Delta {{x}_{i}}}=f\left( {{\xi }_{1}} \right)\cdot \Delta {{x}_{1}}+f\left( {{\xi }_{2}} \right)\cdot \Delta {{x}_{2}}+...+f\left( {{\xi }_{n}} \right)\cdot \Delta {{x}_{n}}$

Такая сумма $\sigma$ называется интегральной суммой функции $y=f\left( x \right)$ на отрезке $\left[ a;\ b \right]$ .

Пусть $d$ – длина наибольшего частичного отрезка: $d=\underset{i=\overline{1;\ n}}{\mathop{\max }}\,\Delta {{x}_{i}}$ . Если предел $I$ интегральной суммы $\sum\limits_{i=1}^{n}{f\left( {{\xi }_{i}} \right)\cdot \Delta {{x}_{i}}}$ , когда максимальный диаметр разбиения $d\to 0$ , не зависит ни от способа разбиения отрезка $\left[ a;\ b \right]$ на частичные отрезки, ни от выбора точек ${{\xi }_{i}}$ в них, то число $I$ называется определенным интегралом от заданной функции $y=f\left( x \right)$ на отрезке $\left[ a;\ b \right]$ и обозначается $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$ , то есть

$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\underset{d\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=1}^{n}{f\left( {{\xi }_{i}} \right)\Delta {{x}_{i}}}$

Здесь числа $a$ и $b$ называются соответственно верхним и нижним пределами интегрирования; $f\left( x \right)$ – подынтегральная функция; $f\left( x \right)dx$ – подынтегральное выражение; $x$ – переменная интегрирования; $\left[ a;\ b \right]$ – область или отрезок интегрирования.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Найти интеграл по определению.

$\int\limits_{0}^{1}{{{a}^{x}}dx},\ \left( a>0 \right)$

Решение

На отрезке $\left[ 0;\ 1 \right]$ функция $f\left( x \right)={{a}^{x}}$ является непрерывной. Согласно определению,

$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\underset{d\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=1}^{n}{f\left( {{\xi }_{i}} \right)\Delta {{x}_{i}}}$

Разобьем отрезок интегрирования $\left[ 0;\ 1 \right]$ на $n$ равных частей. Так как длина указанного отрезка $\Delta \,x=1-0=1$ , то длина элементарного (частичного) отрезка равна

$\Delta \,{{x}_{i}}=\frac{1}{n} \text{ } \Rightarrow \text{ } d=\underset{i}{\mathop{\max }}\,\left\{ \Delta \,{{x}_{i}} \right\}=\frac{1}{n}$

и разбиение

${{x}_{0}}=0<{{x}_{1}}=\frac{1}{n}<{{x}_{2}}=\frac{2}{n}<...<{{x}_{n-1}}=\frac{n-1}{n}<{{x}_{n}}=\frac{n}{n}=1$

В качестве ${{\xi }_{i}}\in \left[ {{x}_{i-1}};\ {{x}_{i}} \right]$ выбираем правый конец частичного интервала:

${{\xi }_{i}}={{x}_{i}}=\frac{i}{n}$

Тогда имеем:

$\int\limits_{0}^{1}{{{a}^{x}}dx}=\underset{d=\frac{1}{n}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=1}^{n}{f\left( \frac{i}{n} \right)\cdot \frac{1}{n}}\ \left\| \begin{matrix} \frac{1}{n}\to 0\Rightarrow \\ \Rightarrow n\to \infty \\ \end{matrix} \right\|=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}^{^{\frac{i}{n}}}}}=$

$=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}^{^{\frac{1}{n}}}}+{{a}^{^{\frac{2}{n}}}}+...+{{a}^{^{\frac{n}{n}}}}}{n}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}^{\frac{1}{n}}}+{{\left( {{a}^{\frac{1}{n}}} \right)}^{2}}+...+{{\left( {{a}^{\frac{1}{n}}} \right)}^{n}}}{n}$

Выражение, стоящее в числителе дроби, представляет собой сумму геометрической прогрессии, для которой ${{b}_{1}}=q={{a}^{\frac{1}{n}}}$ . Сумму этой прогрессии вычислим по формуле:

${{S}_{n}}=\frac{{{b}_{1}}\left( {{q}^{n}}-1 \right)}{q-1}$

Тогда будем иметь:

$\int\limits_{0}^{1}{{{a}^{x}}dx}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}^{\frac{1}{n}}}\left( {{\left( {{a}^{\frac{1}{n}}} \right)}^{n}}-1 \right)}{n\left( {{a}^{\frac{1}{n}}}-1 \right)}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}^{\frac{1}{n}}}\left( a-1 \right)}{n\left( {{a}^{\frac{1}{n}}}-1 \right)}\ \left\| \begin{matrix} n=\frac{1}{t} \\ t\to 0 \\ \end{matrix} \right\|=$

$=\left( a-1 \right)\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{t{{a}^{t}}}{{{a}^{t}}-1}\ \left\| \begin{matrix} \alpha \left( x \right)\to 0 \\ {{a}^{\alpha \left( x \right)}}-1 \tilde \alpha \left( x \right)\ln a \\ \end{matrix} \right\|=\left( a-1 \right)\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{t{{a}^{t}}}{t\ln a}=\frac{a-1}{\ln a}\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{a}^{t}}=$

$=\frac{a-1}{\ln a}\cdot {{a}^{0}}=\frac{a-1}{\ln a}$

Ответ

Функция $y=f\left( x \right)$ называется интегрируемой на отрезке $\left[ a;\ b \right]$ , если для нее на этом отрезке существует определенный интеграл $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$ .

ПРИМЕР 2

Задание

Исследовать функцию $f\left( x \right)=C=\text{const}$ на интегрируемость на отрезке $\left[ a;\ b \right]$ .

Решение

Рассмотрим некоторое разбиение $\left\{ {{x}_{i}} \right\}$ заданного промежутка $\left[ a;\ b \right]$ и некоторые промежуточные точки $\left\{ {{\xi }_{i}} \right\}$ этого разбиения: ${{\xi }_{i}}\in \left[ {{x}_{i-1}};\ {{x}_{i}} \right]$ .

Составляем интегральную сумму

$\sigma =\sum\limits_{i=1}^{n}{f\left( {{\xi }_{i}} \right)\Delta \,{{x}_{i}}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{C\cdot \Delta \,{{x}_{i}}}=C\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}{\Delta \,{{x}_{i}}}=C\left( b-a \right)$

Предел этой интегральной суммы

$\underset{d\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sigma =\underset{d\to 0}{\mathop{\lim }}\,C\left( b-a \right)=C\left( b-a \right)$

Этот предел не зависит ни от разбиения, ни от выбора промежуточных точек, а поэтому функция $f\left( x \right)=C=\text{const}$ является интегрируемой на отрезке $\left[ a;\ b \right]$ .

Ответ

Функция интегрируема.

ТЕОРЕМА

Теорема Коши. Если функция $y=f\left( x \right)$ непрерывна на некотором отрезке $\left[ a;\ b \right]$ , то на этом отрезке она является и интегрируемой.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Определенный интеграл

Детальный разбор понятия «Определенный интеграл»

Примеры решения задач