Свойства определенного интеграла
- Определенный интеграл не зависит от переменной интегрирования:
- Если пределы интегрирования определенного интеграла равны, то такой интеграл равен нулю:
- Если подынтегральная функция
, то определенный интеграл от этой функции по промежутку
равен произведению константы
на длину промежутка
:
- Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
- Интеграл от суммы интегрированных на отрезке
функций равен сумме интегралов от каждой из них:
- Если в определенном интеграле поменять местами пределы интегрирования, то интеграл поменяет знак на противоположный:
- Если функция
интегрируема на отрезке
, то для
имеет место равенство:
- Теорема про среднее. Если функция
интегрируема на отрезке
, то существует точка
такая, что имеет место равенство:
- Если функция
сохраняет знак на некотором промежутке
, то определенный интеграл
имеет на этом же промежутке тот же знак, что и подынтегральная функция.
- Если
, то и
- Если функция
принимает на отрезке
свои наименьшее
и наибольшее
значения, то имеют место неравенства:
- Модуль определенного интеграла не превосходит интеграл от модуля подынтегральной функции:
- Производная от интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции от этого предела:
- Пусть функция
непрерывна на отрезке
, симметричном относительно точки
, тогда
где при
нечётная, а при
-чётная.
- Интеграл от периодической с периодом
функции
имеет одно и то же значение на любом промежутке длины
:
