Свойства определенного интеграла
- Определенный интеграл не зависит от переменной интегрирования:
- Если пределы интегрирования определенного интеграла равны, то такой интеграл равен нулю:
- Если подынтегральная функция , то определенный интеграл от этой функции по промежутку равен произведению константы на длину промежутка :
- Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
- Интеграл от суммы интегрированных на отрезке функций равен сумме интегралов от каждой из них:
- Если в определенном интеграле поменять местами пределы интегрирования, то интеграл поменяет знак на противоположный:
- Если функция интегрируема на отрезке , то для имеет место равенство:
- Теорема про среднее. Если функция интегрируема на отрезке , то существует точка такая, что имеет место равенство:
- Если функция сохраняет знак на некотором промежутке , то определенный интеграл имеет на этом же промежутке тот же знак, что и подынтегральная функция.
- Если , то и
- Если функция принимает на отрезке свои наименьшее и наибольшее значения, то имеют место неравенства:
- Модуль определенного интеграла не превосходит интеграл от модуля подынтегральной функции:
- Производная от интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции от этого предела:
- Пусть функция непрерывна на отрезке , симметричном относительно точки , тогда
где при нечётная, а при -чётная.
- Интеграл от периодической с периодом функции имеет одно и то же значение на любом промежутке длины :