Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Свойства определенного интеграла

  1. Определенный интеграл не зависит от переменной интегрирования:

        \[\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( y \right)dy}\]

  2. Если пределы интегрирования определенного интеграла равны, то такой интеграл равен нулю:

        \[\int\limits_{a}^{a}{f\left( x \right)dx}=0\]

  3. Если подынтегральная функция f\left( x \right)=C=\text{const}, то определенный интеграл от этой функции по промежутку \left[ a;\ b \right] равен произведению константы C на длину промежутка b-a:

        \[\int\limits_{a}^{b}{C\cdot dx}=C\left( b-a \right)\]

  4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

        \[\int\limits_{a}^{b}{Cf\left( x \right)dx}=C\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\]

  5. Интеграл от суммы интегрированных на отрезке \left[ a;\ b \right] функций равен сумме интегралов от каждой из них:

        \[\int\limits_{a}^{b}{\left[ {{f}_{1}}\left( x \right)+{{f}_{2}}\left( x \right)+...+{{f}_{n}}\left( x \right) \right]dx}=\int\limits_{a}^{b}{{{f}_{1}}\left( x \right)dx}+\int\limits_{a}^{b}{{{f}_{2}}\left( x \right)dx}+...+\int\limits_{a}^{b}{{{f}_{n}}\left( x \right)dx}\]

  6. Если в определенном интеграле поменять местами пределы интегрирования, то интеграл поменяет знак на противоположный:

        \[\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=-\int\limits_{b}^{a}{f\left( x \right)dx}\]

  7. Если функция y=f\left( x \right) интегрируема на отрезке \left[ a;\ b \right], то для c\in \left( a;\ b \right) имеет место равенство:

        \[\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)dx}\]

  8. Теорема про среднее. Если функция y=f\left( x \right) интегрируема на отрезке \left[ a;\ b \right], то существует точка \xi \in \left[ a;\ b \right] такая, что имеет место равенство:

        \[\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=f\left( \xi  \right)\left( b-a \right)\]

  9. Если функция y=f\left( x \right) сохраняет знак на некотором промежутке \left[ a;\ b \right], то определенный интеграл \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx} имеет на этом же промежутке тот же знак, что и подынтегральная функция.
  10. Если {{f}_{1}}\left( x \right)\le {{f}_{2}}\left( x \right),\ x\in \left[ a;\ b \right], то и

        \[\int\limits_{a}^{b}{{{f}_{1}}\left( x \right)dx}\le \int\limits_{a}^{b}{{{f}_{2}}\left( x \right)dx}\]

  11. Если функция y=f\left( x \right) принимает на отрезке \left[ a;\ b \right] свои наименьшее m и наибольшее M значения, то имеют место неравенства:

        \[m\left( b-a \right)\le \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\le M\left( b-a \right)\]

  12. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграл от модуля подынтегральной функции:

        \[\left| \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx} \right|\le \int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}\]

  13. Производная от интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции от этого предела:

        \[{{\left( \int\limits_{a}^{x}{f\left( t \right)dt} \right)}^{\prime }}=f\left( x \right)\]

  14. Пусть функция y=f\left( x \right) непрерывна на отрезке \left[ -a;\ a \right], симметричном относительно точки x=0, тогда

        \[\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=\left\{ \begin{matrix}   & 0,\ f\left( x \right) \\   & 2\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx},\ f\left( x \right) \\  \end{matrix} \right.\]

    где при 0 f\left( x \right) нечётная, а при 2\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx},\ f\left( x \right)-чётная.

  15. Интеграл от периодической с периодом T функции y=f\left( x \right) имеет одно и то же значение на любом промежутке длины T:

        \[\int\limits_{0}^{T}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{-T}^{0}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( x \right)dx}\]