Свойства определенного интеграла

Определенный интеграл не зависит от переменной интегрирования:
$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( y \right)dy}$
Если пределы интегрирования определенного интеграла равны, то такой интеграл равен нулю:
$\int\limits_{a}^{a}{f\left( x \right)dx}=0$
Если подынтегральная функция $f\left( x \right)=C=\text{const}$ , то определенный интеграл от этой функции по промежутку $\left[ a;\ b \right]$ равен произведению константы $C$ на длину промежутка $b-a$ :
$\int\limits_{a}^{b}{C\cdot dx}=C\left( b-a \right)$
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
$\int\limits_{a}^{b}{Cf\left( x \right)dx}=C\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$
Интеграл от суммы интегрированных на отрезке $\left[ a;\ b \right]$ функций равен сумме интегралов от каждой из них:
$\int\limits_{a}^{b}{\left[ {{f}_{1}}\left( x \right)+{{f}_{2}}\left( x \right)+...+{{f}_{n}}\left( x \right) \right]dx}=\int\limits_{a}^{b}{{{f}_{1}}\left( x \right)dx}+\int\limits_{a}^{b}{{{f}_{2}}\left( x \right)dx}+...+\int\limits_{a}^{b}{{{f}_{n}}\left( x \right)dx}$
Если в определенном интеграле поменять местами пределы интегрирования, то интеграл поменяет знак на противоположный:
$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=-\int\limits_{b}^{a}{f\left( x \right)dx}$
Если функция $y=f\left( x \right)$ интегрируема на отрезке $\left[ a;\ b \right]$ , то для $c\in \left( a;\ b \right)$ имеет место равенство:
$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)dx}$
Теорема про среднее. Если функция $y=f\left( x \right)$ интегрируема на отрезке $\left[ a;\ b \right]$ , то существует точка $\xi \in \left[ a;\ b \right]$ такая, что имеет место равенство:
$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=f\left( \xi \right)\left( b-a \right)$
Если функция $y=f\left( x \right)$ сохраняет знак на некотором промежутке $\left[ a;\ b \right]$ , то определенный интеграл $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$ имеет на этом же промежутке тот же знак, что и подынтегральная функция.
Если ${{f}_{1}}\left( x \right)\le {{f}_{2}}\left( x \right),\ x\in \left[ a;\ b \right]$ , то и
$\int\limits_{a}^{b}{{{f}_{1}}\left( x \right)dx}\le \int\limits_{a}^{b}{{{f}_{2}}\left( x \right)dx}$
Если функция $y=f\left( x \right)$ принимает на отрезке $\left[ a;\ b \right]$ свои наименьшее $m$ и наибольшее $M$ значения, то имеют место неравенства:
$m\left( b-a \right)\le \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\le M\left( b-a \right)$
Модуль определенного интеграла не превосходит интеграл от модуля подынтегральной функции:
$\left| \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx} \right|\le \int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}$
Производная от интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции от этого предела:
${{\left( \int\limits_{a}^{x}{f\left( t \right)dt} \right)}^{\prime }}=f\left( x \right)$
Пусть функция $y=f\left( x \right)$ непрерывна на отрезке $\left[ -a;\ a \right]$ , симметричном относительно точки $x=0$ , тогда
$\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=\left\{ \begin{matrix} & 0,\ f\left( x \right) \\ & 2\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx},\ f\left( x \right) \\ \end{matrix} \right.$

где при $0 f\left( x \right)$ нечётная, а при $2\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx},\ f\left( x \right)$ -чётная.
Интеграл от периодической с периодом $T$ функции $y=f\left( x \right)$ имеет одно и то же значение на любом промежутке длины $T$ :
$\int\limits_{0}^{T}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{-T}^{0}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( x \right)dx}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!