Криволинейный интеграл
Криволинейный интеграл 1 рода
Пусть на декартовой плоскости задана некоторая непрерывная кривая
, в каждой точке которой определена функция
двух независимых переменных
и
. Разобьем заданную дугу на
частей точками
,
. На каждой из элементарных дуг
выберем произвольную точку
и вычислим в ней значение функции
:
. Составим сумму произведений значений
на длину
элементарной дуги
:
. Найдем предел этой суммы при условии, что длина наибольшей из дуг стремится к нулю, а их количество
. Если функция
непрерывна во всех точках дуги
, то этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения дуги
на части, ни от выбора точек
на каждой из них:
Предел называется криволинейным интегралом первого рода и обозначается
Если кривая задана явным уравнением
Если кривая задана явным уравнением
, то
Задание | Вычислить криволинейный интеграл первого рода ![]() ![]() ![]() ![]() |
Решение | Найдем уравнение указанного отрезка как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (![]() То есть Тогда |
Ответ | ![]() |
Если кривая задана параметрически
Если кривая задана параметрически уравнениями
, а параметр
изменяется на этой дуге от
до
, то криволинейный интеграл первого роду вычисляется по формуле:
Задание | Вычислить криволинейный интеграл 1 рода ![]() ![]() ![]() ![]() |
Решение | Составим уравнения прямой ![]() Параметризируем эти уравнения: Тогда пределы изменения параметра от То есть Тогда |
Ответ | ![]() |
Если кривая задана в полярной системе координат
Если кривая задана в полярной системе координат уравнением
,
, то криволинейный интеграл первого рода равен
Задание | Вычислить криволинейный интеграл первого рода ![]() ![]() ![]() |
Решение | Изобразим заданную кривую (рис. 1). Полярный угол ![]() ![]() ![]() а тогда ![]() Будем иметь: |
Ответ | ![]() |
Криволинейный интеграл 2 роду
Пусть в каждой точке некоторой дуги плоской кривой
определена функция
двух независимых переменных. Точками
разобьем указанную дугу на
частных дуг, на каждой из которых выберем произвольную точку
. Значения функции
в выбранных точках –
– умножим на величину
, которая является проекцией частной дуги
на ось абсцисс:
. Если функция
непрерывна во всех точках дуги
, то существует предел суммы всех построенных произведений
при
:
. Этот предел не зависит ни от способа разбиения дуги
на частные дуги, ни от выбора точек
на них.
Предел называется криволинейным интегралом второго рода от функции
по дуге
и обозначается
Если значения функции в точке
–
– умножить на
, то есть на проекцию элементарной дуги
на ось ординат, то получим произведение
.
Предел суммы таких произведений при условии, что все стремятся к нулю, называется криволинейным интегралом 2 рода:
В случае, когда на дуге заданы две непрерывные функции
и
, то можно рассматривать криволинейные интегралы
и
.
Сумму указанных интегралов будем называть криволинейным интегралом второго рода при условии, что оба интеграла
и
вычисляются по одному и тому же направлению.
Свойства криволинейного интеграла 2 рода
1. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл второго рода изменяет знак:
2. Если точка – внутренняя точка на дуге
, то криволинейный интеграл второго рода можно представить в виде следующей суммы:
Вычисление криволинейного интеграла второго рода сводится к вычислению определенного интеграла.
Если кривая задана явным уравнением
Если кривая задана явным уравнением
,
, то криволинейный интеграл второго рода
Задание | Вычислить криволинейный интеграл второго рода ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Решение | Кривую интегрирования ![]() ![]() ![]() Уравнение отрезка Запишем уравнение То есть ![]() Итак, окончательно имеем: |
Ответ | ![]() |
Если кривая задана параметрически
Если кривая задана параметрически
, то криволинейный интеграл 2 рода
Задание | Вычислить криволинейный интеграл второго рода ![]() ![]() ![]() ![]() |
Решение | Запишем параметрические уравнения прямой ![]() Тогда, Тогда искомый интеграл |
Ответ | ![]() |
