Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл 1 рода

Пусть на декартовой плоскости Oxy задана некоторая непрерывная кривая AB, в каждой точке которой определена функция f\left( x;\ y \right) двух независимых переменных x и y. Разобьем заданную дугу на n частей точками {{A}_{0}}=A, {{A}_{1}},\ {{A}_{2}},...,\ {{A}_{n}}=B. На каждой из элементарных дуг {{A}_{i}}{{A}_{i+1}} выберем произвольную точку {{M}_{i}}\left( {{x}_{i}}\text{;}\ {{y}_{i}} \right) и вычислим в ней значение функции f\left( x;\ y \right): f\left( {{x}_{i}};\ {{y}_{i}} \right). Составим сумму произведений значений f\left( {{x}_{i}};\ {{y}_{i}} \right) на длину \Delta {{l}_{i}} элементарной дуги {{A}_{i}}{{A}_{i+1}}: S=\sum\limits_{i=0}^{n-1}{f\left( {{x}_{i}};\ {{y}_{i}} \right)\Delta {{l}_{i}}}. Найдем предел этой суммы при условии, что длина наибольшей из дуг стремится к нулю, а их количество n\to \infty. Если функция f\left( x;\ y \right) непрерывна во всех точках дуги AB, то этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения дуги AB на части, ни от выбора точек {{M}_{i}}\left( {{x}_{i}}\text{;}\ {{y}_{i}} \right) на каждой из них:

    \[\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,S=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=0}^{n-1}{f\left( {{x}_{i}};\ {{y}_{i}} \right)\Delta {{l}_{i}}}\]

Предел \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,S=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=0}^{n-1}{f\left( {{x}_{i}};\ {{y}_{i}} \right)\Delta {{l}_{i}}} называется криволинейным интегралом первого рода и обозначается

    \[\int\limits_{\left( AB \right)}{f\left( x;\ y \right)dl}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=0}^{n-1}{f\left( {{x}_{i}};\ {{y}_{i}} \right)\Delta {{l}_{i}}}\]

ЗАМЕЧАНИЕ
Криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления обхода кривой AB, то есть

    \[\int\limits_{\left( AB \right)}{f\left( x;\ y \right)dl}=\int\limits_{\left( BA \right)}{f\left( x;\ y \right)dl}\]

Если кривая задана явным уравнением

Если кривая AB задана явным уравнением y=g\left( x \right),\ x\in \left[ a;\ b \right], то

    \[\int\limits_{\left( AB \right)}{f\left( x;\ y \right)dl}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x;\ g\left( x \right) \right)\sqrt{1+{{\left[ {g}'\left( x \right) \right]}^{2}}}dx}\]

ПРИМЕР 1
Задание Вычислить криволинейный интеграл первого рода \int\limits_{AB}{dl}, где AB – отрезок прямой от точки A\left( 0;0 \right) до точки B\left( 1;\ 2 \right).
Решение Найдем уравнение указанного отрезка как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (0\le x\le 1):

    \[\left( AB \right):\frac{x-0}{1-0}=\frac{y-0}{2-0}\Rightarrow x=\frac{y}{2}\Rightarrow y=2x\]

То есть g\left( x \right)=2x,\ 0\le x\le 1. Находим производную функции g\left( x \right):

    \[{g}'\left( x \right)={{\left( 2x \right)}^{\prime }}=2\]

Тогда

    \[\int\limits_{AB}{dl}=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1+{{2}^{2}}}dx}=\sqrt{5}\left. \int\limits_{0}^{1}{dx}=\sqrt{5}\cdot x \right|_{0}^{1}=\sqrt{5}\]

Ответ

Если кривая задана параметрически

Если кривая AB задана параметрически уравнениями \left\{ \begin{matrix}    x=\phi \left( t \right) \\    y=\psi \left( t \right) \\    z=\xi \left( t \right) \\  \end{matrix} \right. \text{ }\text{ } , а параметр t изменяется на этой дуге от {{t}_{1}}=\alpha до {{t}_{2}}=\beta, то криволинейный интеграл первого роду вычисляется по формуле:

    \[\int\limits_{\left( AB \right)}{f\left( x;\ y;\ z \right)dl}=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{f\left( \phi \left( t \right);\ \psi \left( t \right);\ \xi \left( t \right) \right)\sqrt{{{{{x}'}}^{2}}\left( t \right)+{{{{y}'}}^{2}}\left( t \right)+{{{{z}'}}^{2}}\left( t \right)}dt}\]

ПРИМЕР 2
Задание Вычислить криволинейный интеграл 1 рода \int\limits_{\left( AB \right)}{\left( 2x+4y-4z+7 \right)dl}, где AB – отрезок прямой между точками {{M}_{1}}\left( 8;\ 9;\ 3 \right) и {{M}_{2}}\left( 6;\ 10;\ 5 \right).
Решение Составим уравнения прямой {{M}_{1}}{{M}_{2}}:

    \[\left( {{M}_{1}}{{M}_{2}} \right):\frac{x-6}{8-6}=\frac{y-10}{9-10}=\frac{z-5}{3-5}\Rightarrow \frac{x-6}{2}=\frac{y-10}{-1}=\frac{z-5}{-2}\]

Параметризируем эти уравнения:

    \[\frac{x-6}{2}=\frac{y-10}{-1}=\frac{z-5}{-2}=t\Rightarrow \left( {{M}_{1}}{{M}_{2}} \right):\left\{ \begin{matrix} 				   x=2t+6, \\  				  y=-t+10, \\  				  z=-2t+5. \\  				\end{matrix} \right.\]

Тогда пределы изменения параметра t:

от 2{{t}_{1}}+6=8\Rightarrow {{t}_{1}}=1 до 2{{t}_{2}}+6=6\Rightarrow {{t}_{2}}=0.

То есть 0\le t\le 1. Производные функций x\left( t \right),\ y\left( t \right) та z\left( t \right):

    \[{x}'\left( t \right)={{\left( 2t+6 \right)}^{\prime }}=2, \qquad {y}'\left( t \right)={{\left( -t+10 \right)}^{\prime }}=-1, \qquad {z}'\left( t \right)={{\left( -2t+5 \right)}^{\prime }}=-2\]

Тогда

    \[\int\limits_{\left( AB \right)}{\left( 2x+4y-4z+7 \right)dl}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 2\cdot \left( 2t+6 \right)+4\cdot \left( -t+10 \right)-4\cdot \left( -2t+5 \right)+7 \right)}\times \]

    \[\times \sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}dt=\int\limits_{0}^{1}{\left( 4t+12-4t+40+8t-20+7 \right)\cdot \sqrt{9}dt}=\]

    \[=3\int\limits_{0}^{1}{\left( 8t+39 \right)dt}=3\cdot \left. \left( \frac{8{{t}^{2}}}{2}+39t \right) \right|_{0}^{1}=3\cdot \left( 4+39 \right)=129\]

Ответ

Если кривая задана в полярной системе координат

Если кривая AB задана в полярной системе координат уравнением \rho =\rho \left( \phi  \right), \phi \in \left[ \alpha ;\ \beta  \right], то криволинейный интеграл первого рода равен

    \[\int\limits_{\left( AB \right)}{f\left( x;\ y \right)dl}=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{f\left( \rho \cos \phi ;\ \rho \sin \phi  \right)\sqrt{{{{{\rho }'}}^{2}}\left( \phi  \right)+{{\rho }^{2}}\left( \phi  \right)}d\phi }\]

ПРИМЕР 3
Задание Вычислить криволинейный интеграл первого рода \int\limits_{\left( AB \right)}{\left( x+y \right)dl}, где AB – часть лемнискаты \rho =a\sqrt{\sin 2\phi }, которая находится в первом координатном углу.
Решение Изобразим заданную кривую (рис. 1). Полярный угол \phi изменяется в пределах от 0 до \frac{\pi }{2}. Так как \rho =a\sqrt{\sin 2\phi }, то

    \[{\rho }'={{\left( a\sqrt{\sin 2\phi } \right)}^{\prime }}=\frac{a\cos 2\phi }{\sqrt{\sin 2\phi }}\]

а тогда

    \[\sqrt{{{\rho }^{2}}\left( \phi  \right)+{{{{\rho }'}}^{2}}\left( \phi  \right)}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{\sin 2\phi } \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\cos 2\phi }{\sqrt{\sin 2\phi }} \right)}^{2}}}=\frac{a}{\sqrt{\sin 2\phi }}\]

Будем иметь:

    \[\int\limits_{\left( AB \right)}{\left( x+y \right)dl}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( \rho \cos \phi +\rho \sin \phi  \right)\cdot \frac{ad\phi }{\sqrt{\sin 2\phi }}}=a\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\rho \left( \cos \phi +\sin \phi  \right)d\phi }{\sqrt{\sin 2\phi }}}=\]

    \[=a\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{a\sqrt{\sin 2\phi }\left( \cos \phi +\sin \phi  \right)d\phi }{\sqrt{\sin 2\phi }}}={{a}^{2}}\left. \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( \cos \phi +\sin \phi  \right)d\phi }={{a}^{2}}\left( \sin \phi -\cos \phi  \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=2{{a}^{2}}\]

Ответ

Криволинейный интеграл 2 роду

Пусть в каждой точке некоторой дуги AB плоской кривой L определена функция P\left( x;\ y \right) двух независимых переменных. Точками {{A}_{0}}=A;\ {{A}_{1}};\ {{A}_{2}};...\ \text{;}\ {{A}_{n}}=B разобьем указанную дугу на n частных дуг, на каждой из которых выберем произвольную точку {{M}_{i}}\left( {{x}_{i}};\ {{y}_{i}} \right). Значения функции P\left( x;\ y \right) в выбранных точках – P\left( {{x}_{i}};\ {{y}_{i}} \right) – умножим на величину \Delta {{x}_{i}}={{x}_{i+1}}-{{x}_{i}}, которая является проекцией частной дуги {{A}_{i}}{{A}_{i+1}} на ось абсцисс: P\left( {{x}_{i}};\ {{y}_{i}} \right)\Delta {{x}_{i}}. Если функция P\left( x;\ y \right) непрерывна во всех точках дуги AB, то существует предел суммы всех построенных произведений \sum\limits_{i=0}^{n-1}{P\left( {{x}_{i}};\ {{y}_{i}} \right)\Delta {{x}_{i}}} при \Delta {{x}_{i}}\to 0: \underset{\Delta {{x}_{i}}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=0}^{n-1}{P\left( {{x}_{i}};\ {{y}_{i}} \right)\Delta {{x}_{i}}}. Этот предел не зависит ни от способа разбиения дуги AB на частные дуги, ни от выбора точек {{M}_{i}} на них.

Предел \underset{\Delta {{x}_{i}}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=0}^{n-1}{P\left( {{x}_{i}};\ {{y}_{i}} \right)\Delta {{x}_{i}}} называется криволинейным интегралом второго рода от функции P\left( x;\ y \right) по дуге AB и обозначается

    \[\int\limits_{\left( AB \right)}{P\left( x;\ y \right)dx}=\underset{\Delta {{x}_{i}}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=0}^{n-1}{P\left( {{x}_{i}};\ {{y}_{i}} \right)\Delta {{x}_{i}}}\]

Если значения функции P\left( x;\ y \right) в точке {{M}_{i}}\left( {{x}_{i}}\text{;}{{y}_{i}} \right)P\left( {{x}_{i}};\ {{y}_{i}} \right) – умножить на \Delta {{y}_{i}}, то есть на проекцию элементарной дуги {{A}_{i}}{{A}_{i+1}} на ось ординат, то получим произведение P\left( {{x}_{i}};\ {{y}_{i}} \right)\Delta {{y}_{i}}.

Предел суммы таких произведений при условии, что все \Delta {{y}_{i}} стремятся к нулю, называется криволинейным интегралом 2 рода:

    \[\int\limits_{\left( AB \right)}{P\left( x;\ y \right)dy}=\underset{\Delta {{y}_{i}}\to 0}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=0}^{n-1}{P\left( {{x}_{i}};\ {{y}_{i}} \right)\Delta {{y}_{i}}}\]

В случае, когда на дуге AB заданы две непрерывные функции P\left( x;\ y \right) и Q\left( x;\ y \right), то можно рассматривать криволинейные интегралы \int\limits_{\left( AB \right)}{P\left( x;\ y \right)dx} и \int\limits_{\left( AB \right)}{Q\left( x;\ y \right)dy}.

Сумму указанных интегралов \int\limits_{\left( AB \right)}{P\left( x;\ y \right)dx+Q\left( x;\ y \right)dy} будем называть криволинейным интегралом второго рода при условии, что оба интеграла \int\limits_{\left( AB \right)}{P\left( x;\ y \right)dx} и \int\limits_{\left( AB \right)}{Q\left( x;\ y \right)dy} вычисляются по одному и тому же направлению.

Свойства криволинейного интеграла 2 рода

1. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл второго рода изменяет знак:

    \[\int\limits_{\left( AB \right)}{P\left( x;\ y \right)dx+Q\left( x;\ y \right)dy}=-\int\limits_{\left( BA \right)}{P\left( x;\ y \right)dx+Q\left( x;\ y \right)dy}\]

2. Если точка C – внутренняя точка на дуге AB, то криволинейный интеграл второго рода можно представить в виде следующей суммы:

    \[\int\limits_{\left( AB \right)}{P\left( x;\ y \right)dx+Q\left( x;\ y \right)dy}=\int\limits_{\left( AC \right)}{P\left( x;\ y \right)dx+Q\left( x;\ y \right)dy}+\int\limits_{\left( CB \right)}{P\left( x;\ y \right)dx+Q\left( x;\ y \right)dy}\]

Вычисление криволинейного интеграла второго рода сводится к вычислению определенного интеграла.

Если кривая задана явным уравнением

Если кривая AB задана явным уравнением y=f\left( x \right), a\le x\le b, то криволинейный интеграл второго рода

    \[\int\limits_{\left( AB \right)}{P\left( x;\ y \right)dx+Q\left( x;\ y \right)dy}=\int\limits_{a}^{b}{\left[ P\left( x;\ f\left( x \right) \right)+Q\left( x;\ f\left( x \right) \right)\cdot {f}'\left( x \right) \right]dx}\]

ПРИМЕР 4
Задание Вычислить криволинейный интеграл второго рода I=\int\limits_{\left( L \right)}{{{\left( x-y \right)}^{2}}dx+{{\left( x+y \right)}^{2}}dy}, где L – ломаная OAB, причем O\left( 0;\ 0 \right), A\left( 2;\ 0 \right), B\left( 4;\ 2 \right).
Решение Кривую интегрирования L можно розбити на две части OA и AB (рис. 2), а тогда, согласно свойствам криволинейного интеграла второго рода, имеем:

    \[I=\int\limits_{\left( OA \right)}{{{\left( x-y \right)}^{2}}dx+{{\left( x+y \right)}^{2}}dy}+\int\limits_{\left( AB \right)}{{{\left( x-y \right)}^{2}}dx+{{\left( x+y \right)}^{2}}dy}\]

Уравнение отрезка OA:\ y=0\ \left( 0\le x\le 2 \right), то есть в этом случае f\left( x \right)=0 и {f}'\left( x \right)=0.

Запишем уравнение AB как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

    \[\left( AB \right):\frac{x-2}{4-2}=\frac{y-0}{2-0}\Rightarrow \frac{x-2}{2}=\frac{y}{2}\Rightarrow y=x-2\]

То есть AB:\ y=x-2\ \left( 2\le x\le 4 \right). В этом случае f\left( x \right)=x-2\Rightarrow {f}'\left( x \right)=1.

Итак, окончательно имеем:

    \[I=\int\limits_{0}^{2}{\left[ {{\left( x-0 \right)}^{2}}+{{\left( x+0 \right)}^{2}}\cdot 0 \right]\,dx}+\int\limits_{2}^{4}{\left[ {{\left( x-\left( x-2 \right) \right)}^{2}}+{{\left( x+\left( x-2 \right) \right)}^{2}}\cdot 1 \right]\,dx}=\]

    \[=\int\limits_{0}^{2}{{{x}^{2}}\,dx}+\int\limits_{2}^{4}{\left( 4+{{\left( 2x-2 \right)}^{2}} \right)\,dx}=\left. \frac{{{x}^{3}}}{3} \right|_{0}^{2}+4\int\limits_{2}^{4}{dx}+4\int\limits_{2}^{4}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}dx}=\]

    \[=\frac{{{2}^{3}}}{3}-\left. \frac{{{0}^{3}}}{3}+4x \right|_{2}^{4}+4\cdot \left. \frac{{{\left( x-1 \right)}^{3}}}{3} \right|_{2}^{4}=\frac{8}{3}+4\cdot \left( 4-2 \right)+\frac{4}{3}\cdot \left( {{\left( 4-1 \right)}^{3}}-{{\left( 2-1 \right)}^{3}} \right)=\]

    \[=\frac{8}{3}+8+\frac{4}{3}\cdot \left( 27-1 \right)=\frac{32}{3}+\frac{104}{3}=\frac{136}{3}\]

Ответ I=\frac{136}{3}

Если кривая задана параметрически

Если кривая AB задана параметрически \left( AB \right):\left\{ \begin{matrix}    x=\phi \left( t \right) \\    y=\psi \left( t \right) \\    z=\xi \left( t \right) \\  \end{matrix} \right. \text{ } \alpha \le t\le \beta, то криволинейный интеграл 2 рода

    \[\int\limits_{\left( AB \right)}{P\left( x;\ y;\ z \right)dx+Q\left( x;\ y;\ z \right)dy+R\left( x;\ y;\ z \right)dz}=\]

    \[=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{\left[ P\left( \phi \left( t \right);\ \psi \left( t \right);\ \xi \left( t \right) \right)\cdot {\phi }'\left( t \right)+Q\left( \phi \left( t \right);\ \psi \left( t \right);\ \xi \left( t \right) \right)\cdot {\psi }'\left( t \right)+R\left( \phi \left( t \right);\ \psi \left( t \right);\ \xi \left( t \right) \right)\cdot {\xi }'\left( t \right) \right]dt}\]

ПРИМЕР 5
Задание Вычислить криволинейный интеграл второго рода I=\int\limits_{\left( AB \right)}{{{y}^{2}}dx+\left( {{x}^{2}}+z \right)dy+\left( x+y+{{z}^{2}} \right)dz}, где AB – отрезок прямой от точки A\left( 1;\ 0;\ 2 \right) до точки B\left( 3;\ 1;\ 4 \right).
Решение Запишем параметрические уравнения прямой AB:

    \[\left( AB \right):\frac{x-1}{3-1}=\frac{y-0}{1-0}=\frac{z-2}{4-2}\Rightarrow \frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}=t\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 				   x=2t+1, \\  				  y=t, \\  				  z=2t+2. \\  				\end{matrix} \right.\]

Тогда, \phi \left( t \right)=2t+1\Rightarrow {\phi }'\left( t \right)=2, \psi \left( t \right)=t\Rightarrow {\psi }'\left( t \right)=1, \xi \left( t \right)=2t+2\Rightarrow {\xi }'\left( t \right)=2. При перемещении от точки A до точки B параметр t изменяется от t={{y}_{A}}=0 до t={{y}_{B}}=1.

Тогда искомый интеграл

    \[I=\int\limits_{0}^{1}{\left[ {{t}^{2}}\cdot 2+\left( {{\left( 2t+1 \right)}^{2}}+2t+2 \right)\cdot 1+\left( 2t+1+t+{{\left( 2t+2 \right)}^{2}} \right)\cdot 2 \right]}\ dt=\]

    \[=\int\limits_{0}^{1}{\left( 2{{t}^{2}}+4{{t}^{2}}+6t+3+8{{t}^{2}}+22t+10 \right)}\ dt=\int\limits_{0}^{1}{\left( 14{{t}^{2}}+28t+13 \right)\,}dt=\]

    \[=\left. \left( \frac{14{{t}^{3}}}{3}+\frac{28{{t}^{2}}}{2}+13t \right) \right|_{0}^{1}=\frac{14}{3}+14+13=\frac{95}{3}\]

Ответ I=\frac{95}{3}