Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Первообразная и неопределенный интеграл

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Первообразной для заданной функции y=f\left( x \right) на заданном промежутке \left( a;\ b \right) называется такая функция F\left( x \right), что имеем место равенство

    \[ {F}'\left( x \right)=f\left( x \right),\ x\in \left( a;\ b \right)\]

Операция нахождения первообразной F\left( x \right) функции y=f\left( x \right) называется интегрированием.
ТЕОРЕМА 1
Любая непрерывная на отрезке \left[ a;\ b \right] функция имеет на этом отрезке первообразную функцию.
ЛЕММА
Если на некотором промежутке функция y=f\left( x \right) равна нулю: f\left( x \right)=0, то первообразная этой функции на рассматриваемом промежутке является константой:

    \[F\left( x \right)=C=\text{const}\]

Константа интегрирования

ТЕОРЕМА 2
Если на некотором промежутке функция F\left( x \right) есть первообразной функции y=f\left( x \right), то на этом промежутке первообразной для этой функции будет и функция F\left( x \right)+C, где C – произвольная постоянная.

Доказательство. Так как F\left( x \right) – первообразная функции y=f\left( x \right), то по определению имеем, что

    \[{F}'\left( x \right)=f\left( x \right)\]

Рассмотрим функцию \Phi \left( x \right)=F\left( x \right)+C и покажем, что она также является первообразной для функции y=f\left( x \right). Найдем производную:

    \[{\Phi }'\left( x \right)={{\left( F\left( x \right)+C \right)}^{\prime }}={{\left( F\left( x \right) \right)}^{\prime }}+{{\left( C \right)}^{\prime }}={F}'\left( x \right)+0={F}'\left( x \right)=f\left( x \right)\]

То есть {\Phi }'\left( x \right)=f\left( x \right), а это означает, что и функция \Phi \left( x \right)=F\left( x \right)+C является первообразной для функции y=f\left( x \right).

Что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 3
Любые две первообразные для одной и той же функции отличаются на константу.

Правила нахождения первообразных

  1. Если F\left( x \right) – первообразная для функции y=f\left( x \right), а G\left( x \right) – первообразная функции y=g\left( x \right), то F\left( x \right)+G\left( x \right) – первообразная функции f\left( x \right)+g\left( x \right).
  2. Если F\left( x \right) – первообразная для функции y=f\left( x \right), а k – некоторое число, то kF\left( x \right) является первообразной для функции kf\left( x \right).
  3. Если F\left( x \right) является первообразной функции y=f\left( x \right), а k\ne 0 и b – некоторые числа, то функция \frac{1}{k}F\left( kx+b \right) – первообразная для функции f\left( kx+b \right).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Множество всех первообразных F\left( x \right)+C некоторой функции y=f\left( x \right) называется неопределенным интегралом и обозначается

    \[\int{f\left( x \right)dx}=F\left( x \right)+C\]

Здесь \intзнак интеграла, f\left( x \right)dx – подынтегральное выражение, f\left( x \right) – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования.