Первообразная и неопределенный интеграл

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Первообразной для заданной функции $y=f\left( x \right)$ на заданном промежутке $\left( a;\ b \right)$ называется такая функция $F\left( x \right)$ , что имеем место равенство

${F}'\left( x \right)=f\left( x \right),\ x\in \left( a;\ b \right)$

Операция нахождения первообразной $F\left( x \right)$ функции $y=f\left( x \right)$ называется интегрированием.

ТЕОРЕМА 1

Любая непрерывная на отрезке $\left[ a;\ b \right]$ функция имеет на этом отрезке первообразную функцию.

ЛЕММА

Если на некотором промежутке функция $y=f\left( x \right)$ равна нулю: $f\left( x \right)=0$ , то первообразная этой функции на рассматриваемом промежутке является константой:

$F\left( x \right)=C=\text{const}$

Константа интегрирования

ТЕОРЕМА 2

Если на некотором промежутке функция $F\left( x \right)$ есть первообразной функции $y=f\left( x \right)$ , то на этом промежутке первообразной для этой функции будет и функция $F\left( x \right)+C$ , где $C$ – произвольная постоянная.

Доказательство. Так как $F\left( x \right)$ – первообразная функции $y=f\left( x \right)$ , то по определению имеем, что

${F}'\left( x \right)=f\left( x \right)$

Рассмотрим функцию $\Phi \left( x \right)=F\left( x \right)+C$ и покажем, что она также является первообразной для функции $y=f\left( x \right)$ . Найдем производную:

${\Phi }'\left( x \right)={{\left( F\left( x \right)+C \right)}^{\prime }}={{\left( F\left( x \right) \right)}^{\prime }}+{{\left( C \right)}^{\prime }}={F}'\left( x \right)+0={F}'\left( x \right)=f\left( x \right)$

То есть ${\Phi }'\left( x \right)=f\left( x \right)$ , а это означает, что и функция $\Phi \left( x \right)=F\left( x \right)+C$ является первообразной для функции $y=f\left( x \right)$ .

Что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 3

Любые две первообразные для одной и той же функции отличаются на константу.

Правила нахождения первообразных

Если $F\left( x \right)$ – первообразная для функции $y=f\left( x \right)$ , а $G\left( x \right)$ – первообразная функции $y=g\left( x \right)$ , то $F\left( x \right)+G\left( x \right)$ – первообразная функции $f\left( x \right)+g\left( x \right)$ .
Если $F\left( x \right)$ – первообразная для функции $y=f\left( x \right)$ , а $k$ – некоторое число, то $kF\left( x \right)$ является первообразной для функции $kf\left( x \right)$ .
Если $F\left( x \right)$ является первообразной функции $y=f\left( x \right)$ , а $k\ne 0$ и $b$ – некоторые числа, то функция $\frac{1}{k}F\left( kx+b \right)$ – первообразная для функции $f\left( kx+b \right)$ .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Множество всех первообразных $F\left( x \right)+C$ некоторой функции $y=f\left( x \right)$ называется неопределенным интегралом и обозначается

$\int{f\left( x \right)dx}=F\left( x \right)+C$

Здесь $\int$ – знак интеграла, $f\left( x \right)dx$ – подынтегральное выражение, $f\left( x \right)$ – подынтегральная функция, $x$ – переменная интегрирования.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Первообразная и неопределенный интеграл

Константа интегрирования

Правила нахождения первообразных