Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Интеграл суммы

Интеграл суммы равен сумме интегралов

    \[ \int{(f(x) + g(x))dx} = \int{f(x)dx} + \int{g(x)dx} \]

Данная формула распространена и на большее конечное число слагаемых:

    \[\int{[g_1(x) + g_2(x) + \ldots + g_n(x)]dx} =  \int{g_1(x) dx } + \int{g_2(x) dx } + \ldots + \int{g_n(x)}dx}\]

Примеры решения задач по теме «Интеграл суммы»

ПРИМЕР 1
Задание Найти интеграл

    \[ \int{\left(\sqrt{x} + 1 \right)dx} \]

Решение Интеграл суммы равен сумме интегралов:

    \[\int{(\sqrt{x}+1)dx}=\int{\sqrt{x}dx}+\int{1\cdot dx}}\]

Первый интеграл

    \[\int{\sqrt{x}dx}=\int{x^\frac{1}{2}dx}=\frac{{{x}^{\frac{1}{2}+1}}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{{{x}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{2\sqrt{{{x}^{3}}}}{3}+C\]

Для второго интеграла используем правило: знак интеграла уничтожает знак дифференциала:

    \[\int{1\cdot dx=}\int{dx=x+C}\]

Тогда

    \[\int{(\sqrt{x}+1)dx}=\frac{2\sqrt{{{x}^{3}}}}{3}+x+C\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Решить интеграл \int{(\cos x+x)dx}
Решение Записываем данный интеграл в виде суммы двух интегралов:

    \[\int{(\cos x+x)dx=\int{\cos xdx+\int{xdx}}}\]

Интеграл косинуса равен синусу:

    \[\int{\cos xdx}=\sin x+C\]

Интеграл от степенной функции

    \[\int{{{x}^{n}}dx}=\frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}+C\]

то есть

    \[\int{xdx}=\frac{{{x}^{1+1}}}{1+1}+C=\frac{{{x}^{2}}}{2}+C\]

Таким образом,

    \[\int{(\cos x+x)dx}=\sin x+\frac{{{x}^{2}}}{2}+C\]

Ответ