Интеграл суммы

Интеграл суммы равен сумме интегралов

$\int{(f(x) + g(x))dx} = \int{f(x)dx} + \int{g(x)dx}$

Данная формула распространена и на большее конечное число слагаемых:

$\int{[g_1(x) + g_2(x) + \ldots + g_n(x)]dx} = \int{g_1(x) dx } + \int{g_2(x) dx } + \ldots + \int{g_n(x)}dx}$

Примеры решения задач по теме «Интеграл суммы»

ПРИМЕР 1

Задание

Найти интеграл

$\int{\left(\sqrt{x} + 1 \right)dx}$

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов:

$\int{(\sqrt{x}+1)dx}=\int{\sqrt{x}dx}+\int{1\cdot dx}}$

Первый интеграл

$\int{\sqrt{x}dx}=\int{x^\frac{1}{2}dx}=\frac{{{x}^{\frac{1}{2}+1}}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{{{x}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{2\sqrt{{{x}^{3}}}}{3}+C$

Для второго интеграла используем правило: знак интеграла уничтожает знак дифференциала:

$\int{1\cdot dx=}\int{dx=x+C}$

Тогда

$\int{(\sqrt{x}+1)dx}=\frac{2\sqrt{{{x}^{3}}}}{3}+x+C$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Решить интеграл $\int{(\cos x+x)dx}$

Решение

Записываем данный интеграл в виде суммы двух интегралов:

$\int{(\cos x+x)dx=\int{\cos xdx+\int{xdx}}}$

Интеграл косинуса равен синусу:

$\int{\cos xdx}=\sin x+C$

Интеграл от степенной функции

$\int{{{x}^{n}}dx}=\frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}+C$

то есть

$\int{xdx}=\frac{{{x}^{1+1}}}{1+1}+C=\frac{{{x}^{2}}}{2}+C$

Таким образом,

$\int{(\cos x+x)dx}=\sin x+\frac{{{x}^{2}}}{2}+C$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Интеграл суммы

Примеры решения задач по теме «Интеграл суммы»