Интеграл произведения функций

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Интеграл произведения функций $\int f\left( x \right)g\left( x \right)dx$ в общем случае не равен произведению интегралов от каждого из сомножителей:

$\int{f\left( x \right)g\left( x \right)dx}\ne \int{f\left( x \right)dx}\cdot \int{g\left( x \right)dx}$

В зависимости от того, какие функции стоят под знаком интеграла, интеграл от произведения в некоторых случаях можно выразить через элементарные функции, а в некоторых определенный интеграл произведения функций можно оценить. Для этого используются теоремы про среднее.

Теоремы про среднее

ТЕОРЕМА

Теорема 1. Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ являются интегрируемыми на отрезке $[ a; b ] ,$ причем $m \le f(x) \le M, x \in [ a; b ]$ и $g(x) \ge 0$ на $[ a; b ] .$ Тогда

$m\int\limits_{a}^{b}{g\left( x \right)dx}\le \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)g\left( x \right)dx}\le M\int\limits_{a}^{b}{g\left( x \right)dx}$

Следствие 1. Пусть функция $f\left( x \right)$ интегрируема на отрезке $\left[ a;b \right]$ и является ограниченной на этом отрезке: $m\le f\left( x \right)\le M .$ Тогда

$m\left( b-a \right)\le \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)g\left( x \right)dx}\le M\left( b-a \right)$

ТЕОРЕМА

Теорема 2. Пусть функция $f\left( x \right)$ непрерывна на отрезке $\left[ a;\ b \right] ,$ функция $g\left( x \right)\ge 0$ интегрируема на этом отрезке. Тогда существует такая точка $c\in \left[ a;\ b \right] ,$ что выполняется равенство:

$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)g\left( x \right)dx}=f\left( c \right)\cdot \int\limits_{a}^{b}{g\left( x \right)dx}$

Следствие 2. Пусть функция $f\left( x \right)$ непрерывна на отрезке $\left[ a;b \right] .$ Тогда существует $c\in \left[ a; b \right]$ такое, что

$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)g\left( x \right)dx}=f\left( c \right)\left( b-a \right)$

Примеры решения задач по теме «Интеграл произведения»

ПРИМЕР 1

Задание

Оценить интеграл

$\int\limits_{0}^{2}{\frac{5-x}{9-{{x}^{2}}}dx}$

Решение

Подынтегральная функция $f\left( x \right)=\frac{5-x}{9-{{x}^{2}}}$ задана на отрезке $\left[ 0;\ 2 \right] .$ С помощью дифференциального исчисления можно показать, что на этом отрезке функция принимает свое наименьшее значение, равное $\frac{1}{2} ;$ и наименьшее $-\frac{3}{5} .$ Тогда, согласно следствию 1, можно записать:

$\frac{1}{2}\cdot \left( 2-0 \right)\le \int\limits_{0}^{2}{\frac{5-x}{9-{{x}^{2}}}dx}\le \frac{3}{5}\cdot \left( 2-0 \right)$

или

$1\le \int\limits_{0}^{2}{\frac{5-x}{9-{{x}^{2}}}dx}\le \frac{6}{5}$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Оценить интеграл

$\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin x}{x}dx}$

Решение

Подынтегральная функция $f\left( x \right)=\frac{\sin x}{x}$ является убывающей на отрезке интегрирования $\left[ \frac{\pi }{4};\ \frac{\pi }{2} \right] ,$ следовательно, имеет место оценка:

$f\left( \frac{\pi }{2} \right)\le f\left( x \right)=\frac{\sin x}{x}\le f\left( \frac{\pi }{4} \right) \text{ } \Rightarrow \text{ } \frac{2}{\pi }\le f\left( x \right)=\frac{\sin x}{x}\le \frac{2\sqrt{2}}{\pi }$

Тогда, согласно следствию 1, имеем:

$\frac{2}{\pi }\cdot \left( \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4} \right)\le \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin x}{x}dx}\le \frac{2\sqrt{2}}{\pi }\cdot \left( \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4} \right)$

или

$\frac{2}{\pi }\cdot \frac{\pi }{4}\le \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin x}{x}dx}\le \frac{2\sqrt{2}}{\pi }\cdot \frac{\pi }{4} \text{ } \Rightarrow \text{ } \frac{1}{2}\le \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin x}{x}dx}\le \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Интеграл произведения функций

Теоремы про среднее

Примеры решения задач по теме «Интеграл произведения»