Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Интеграл произведения функций

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Интеграл произведения функций \int f\left( x \right)g\left( x \right)dx в общем случае не равен произведению интегралов от каждого из сомножителей:

    \[\int{f\left( x \right)g\left( x \right)dx}\ne \int{f\left( x \right)dx}\cdot \int{g\left( x \right)dx}\]

В зависимости от того, какие функции стоят под знаком интеграла, интеграл от произведения в некоторых случаях можно выразить через элементарные функции, а в некоторых определенный интеграл произведения функций можно оценить. Для этого используются теоремы про среднее.

Теоремы про среднее

ТЕОРЕМА
Теорема 1. Пусть функции f(x) и g(x) являются интегрируемыми на отрезке [ a; b ] , причем m \le f(x) \le M, x \in [ a; b ] и g(x) \ge 0 на [ a; b ] . Тогда

    \[m\int\limits_{a}^{b}{g\left( x \right)dx}\le \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)g\left( x \right)dx}\le M\int\limits_{a}^{b}{g\left( x \right)dx}\]

Следствие 1. Пусть функция f\left( x \right) интегрируема на отрезке \left[ a;b \right] и является ограниченной на этом отрезке: m\le f\left( x \right)\le M . Тогда

    \[m\left( b-a \right)\le \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)g\left( x \right)dx}\le M\left( b-a \right)\]

ТЕОРЕМА
Теорема 2. Пусть функция f\left( x \right) непрерывна на отрезке \left[ a;\ b \right] , функция g\left( x \right)\ge 0 интегрируема на этом отрезке. Тогда существует такая точка c\in \left[ a;\ b \right] , что выполняется равенство:

    \[\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)g\left( x \right)dx}=f\left( c \right)\cdot \int\limits_{a}^{b}{g\left( x \right)dx}\]

Следствие 2. Пусть функция f\left( x \right) непрерывна на отрезке \left[ a;b \right] . Тогда существует c\in \left[ a; b \right] такое, что

    \[\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)g\left( x \right)dx}=f\left( c \right)\left( b-a \right)\]

Примеры решения задач по теме «Интеграл произведения»

ПРИМЕР 1
Задание Оценить интеграл

    \[ \int\limits_{0}^{2}{\frac{5-x}{9-{{x}^{2}}}dx} \]

Решение Подынтегральная функция f\left( x \right)=\frac{5-x}{9-{{x}^{2}}} задана на отрезке \left[ 0;\ 2 \right] . С помощью дифференциального исчисления можно показать, что на этом отрезке функция принимает свое наименьшее значение, равное \frac{1}{2} ; и наименьшее -\frac{3}{5} . Тогда, согласно следствию 1, можно записать:

    \[\frac{1}{2}\cdot \left( 2-0 \right)\le \int\limits_{0}^{2}{\frac{5-x}{9-{{x}^{2}}}dx}\le \frac{3}{5}\cdot \left( 2-0 \right)\]

или

    \[1\le \int\limits_{0}^{2}{\frac{5-x}{9-{{x}^{2}}}dx}\le \frac{6}{5}\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Оценить интеграл

    \[ \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin x}{x}dx} \]

Решение Подынтегральная функция f\left( x \right)=\frac{\sin x}{x} является убывающей на отрезке интегрирования \left[ \frac{\pi }{4};\ \frac{\pi }{2} \right] , следовательно, имеет место оценка:

    \[f\left( \frac{\pi }{2} \right)\le f\left( x \right)=\frac{\sin x}{x}\le f\left( \frac{\pi }{4} \right) \text{ } \Rightarrow \text{ } \frac{2}{\pi }\le f\left( x \right)=\frac{\sin x}{x}\le \frac{2\sqrt{2}}{\pi }\]

Тогда, согласно следствию 1, имеем:

    \[\frac{2}{\pi }\cdot \left( \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4} \right)\le \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin x}{x}dx}\le \frac{2\sqrt{2}}{\pi }\cdot \left( \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4} \right)\]

или

    \[\frac{2}{\pi }\cdot \frac{\pi }{4}\le \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin x}{x}dx}\le \frac{2\sqrt{2}}{\pi }\cdot \frac{\pi }{4} \text{ } \Rightarrow \text{ } \frac{1}{2}\le \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin x}{x}dx}\le \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Ответ