Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Кратные интегралы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Кратным или многократным интегралом называют множество определенных интегралов, взятых от n>1 переменных:

    \[\underbrace{\int\limits_{{{a}_{1}}}^{{{b}_{1}}}{...\int\limits_{{{a}_{n}}}^{{{b}_{n}}}{{}}}}_{n}f\left( {{x}_{1}};...\text{;}\ {{x}_{n}} \right)d{{x}_{1}}...d{{x}_{n}}\]

Так как кратный интеграл − это определенный интеграл, то в результате его вычислении всегда получается число.

Кратный интеграл \underbrace{\int\limits_{{{a}_{1}}}^{{{b}_{1}}}{...\int\limits_{{{a}_{n}}}^{{{b}_{n}}}{{}}}}_{n}f\left( {{x}_{1}};..\text{;}\ {{x}_{n}} \right)d{{x}_{1}}...d{{x}_{n}} можно свести к повторному:

    \[\int\limits_{{{a}_{1}}}^{{{b}_{1}}}{d{{x}_{1}}\int\limits_{{{a}_{2}}}^{{{b}_{2}}}{d{{x}_{2}}}\int\limits_{{{a}_{n}}}^{{{b}_{n}}}{f\left( {{x}_{1}};...\text{;}\ {{x}_{n}} \right)}}d{{x}_{n}}\]

вычисление которого начинается справа налево, то есть вначале вычисляется интеграл по переменной {{x}_{n}}, затем по переменной {{x}_{n-1}} и так далее до переменной {{x}_{1}}.

Наиболее употребляемыми кратными интегралами являются двойной \iint\limits_{D}{f\left( x;\ y \right)dxdy} и тройной \iiint\limits_{\sigma }{f\left( x;\ y;\ z \right)dxdydz} интегралы.