Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Интеграл от корня

Интеграл от корня равен две третьих корня из икс в кубе плюс константа интегрирования.

    \[ \int{\sqrt{x}dx}=\frac{2}{3}\sqrt{{{x}^{3}}}+C \]

Данную формулу можно получить, записав корень в виде показателя степени, и затем найдя интеграл как от степенной функции:

    \[ \int{{{x}^{n}}dx}=\frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}+C \]

    \[\int{\sqrt{x}dx}=\int{{{x}^{^{\frac{1}{2}}}}dx}=\frac{{{x}^{^{\frac{1}{2}+1}}}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{{{x}^{^{\frac{3}{2}}}}}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}\sqrt{{{x}^{3}}}+C\]

Примеры решения задач по теме «Интеграл от корня»

ПРИМЕР 1
Задание Найти интеграл

    \[ \int{\left( 2\sqrt{x}+1 \right)dx} \]

Решение По свойствам интеграла интеграл от суммы равен сумме интегралов, и константу можно выносить за знак интеграла. Тогда имеем:

    \[\int{\left( 2\sqrt{x}+1 \right)dx}=\int{2\sqrt{x}dx}+\int{dx}=2\int{\sqrt{x}dx}+x=2\cdot \frac{2}{3}\sqrt{{{x}^{3}}}+C=\frac{4}{3}\sqrt{{{x}^{3}}}+C\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Решить интеграл

    \[ \int{\frac{x+1}{2\sqrt{x}}dx} \]

Решение Почленно поделим подынтегральную функцию:

    \[\int{\frac{x+1}{2\sqrt{x}}dx}=\int{\frac{xdx}{2\sqrt{x}}}+\int{\frac{dx}{2\sqrt{x}}}=\frac{1}{2}\int{\sqrt{x}dx}+\sqrt{x}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\sqrt{{{x}^{3}}}+\sqrt{x}+C=\frac{\sqrt{{{x}^{3}}}}{3}+\sqrt{x}+C\]

Интеграл \int{\frac{dx}{2\sqrt{x}}} является табличным и равен

    \[\int{\frac{dx}{2\sqrt{x}}}=\sqrt{x}+C\]

Ответ