Интеграл от корня

Интеграл от корня равен две третьих корня из икс в кубе плюс константа интегрирования.

$\int{\sqrt{x}dx}=\frac{2}{3}\sqrt{{{x}^{3}}}+C$

Данную формулу можно получить, записав корень в виде показателя степени, и затем найдя интеграл как от степенной функции:

$\int{{{x}^{n}}dx}=\frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}+C$

$\int{\sqrt{x}dx}=\int{{{x}^{^{\frac{1}{2}}}}dx}=\frac{{{x}^{^{\frac{1}{2}+1}}}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{{{x}^{^{\frac{3}{2}}}}}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}\sqrt{{{x}^{3}}}+C$

Примеры решения задач по теме «Интеграл от корня»

ПРИМЕР 1

Задание	Найти интеграл $\int{\left( 2\sqrt{x}+1 \right)dx}$
Решение	По свойствам интеграла интеграл от суммы равен сумме интегралов, и константу можно выносить за знак интеграла. Тогда имеем: $\int{\left( 2\sqrt{x}+1 \right)dx}=\int{2\sqrt{x}dx}+\int{dx}=2\int{\sqrt{x}dx}+x=2\cdot \frac{2}{3}\sqrt{{{x}^{3}}}+C=\frac{4}{3}\sqrt{{{x}^{3}}}+C$
Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Решить интеграл

$\int{\frac{x+1}{2\sqrt{x}}dx}$

Решение

Почленно поделим подынтегральную функцию:

$\int{\frac{x+1}{2\sqrt{x}}dx}=\int{\frac{xdx}{2\sqrt{x}}}+\int{\frac{dx}{2\sqrt{x}}}=\frac{1}{2}\int{\sqrt{x}dx}+\sqrt{x}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\sqrt{{{x}^{3}}}+\sqrt{x}+C=\frac{\sqrt{{{x}^{3}}}}{3}+\sqrt{x}+C$

Интеграл $\int{\frac{dx}{2\sqrt{x}}}$ является табличным и равен

$\int{\frac{dx}{2\sqrt{x}}}=\sqrt{x}+C$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Интеграл от корня

Примеры решения задач по теме «Интеграл от корня»