Интегрирование заменой переменной
Метод интегрирования заменой переменной заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, являющимся либо табличным, либо к нему сводящимся.
Пусть задан интеграл . Сделаем подстановку
функция является дифференцируемой. Тогда дифференциал . Заданный интеграл принимает вид:
Записанная формула называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле.
Если задан интеграл , тогда целесообразно делать подстановку в виде , тогда заданный интеграл принимает вид:
Примеры интегрирования заменой переменной
Задание | Найти интеграл |
Решение | Сделаем замену переменных: .
Продифференцировав левую и правую части, получим:
Подставляем полученные выражения в заданный интеграл:
В итоге преобразований получили табличный интеграл:
Возвращаемся к начальной переменной, то есть делаем обратную подстановку . В результате будем иметь:
|
Ответ |
Задание | Решить интеграл |
Решение | Сделаем замену , тогда и . Заданный интеграл принимает вид:
|
Ответ |