Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Интегрирование заменой переменной

Метод интегрирования заменой переменной заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, являющимся либо табличным, либо к нему сводящимся.

Пусть задан интеграл \int{f\left( x \right)dx}. Сделаем подстановку

    \[x=\phi \left( t \right)\]

функция \phi \left( t \right) является дифференцируемой. Тогда дифференциал dx=d\left( \phi \left( t \right) \right)={\phi }'\left( t \right)dt. Заданный интеграл принимает вид:

    \[\int{f\left( x \right)dx}=\int{f\left( \phi \left( t \right) \right)\cdot {\phi }'\left( t \right)dt}\]

Записанная формула называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле.

ЗАМЕЧАНИЕ
После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к начальной переменной x.

Если задан интеграл \int{f\left( \phi \left( x \right) \right)\cdot {\phi }'\left( x \right)dx}, тогда целесообразно делать подстановку в виде t=\phi \left( x \right), тогда заданный интеграл принимает вид:

    \[\int{f\left( \phi \left( x \right) \right)\cdot {\phi }'\left( x \right)dx}=\int{f\left( t \right)dt}\]

Примеры интегрирования заменой переменной

ПРИМЕР 1
Задание Найти интеграл \int{{{e}^{2x}}dx}
Решение Сделаем замену переменных: 2x=t.

Продифференцировав левую и правую части, получим:

    \[d\left( 2x \right)=d\left( t \right) \text{ } \Rightarrow  \text{ } 2dx=dt \text{ } \Rightarrow  \text{ } dx=\frac{dt}{2}\]

Подставляем полученные выражения в заданный интеграл:

    \[\int{{{e}^{2x}}dx}=\int{{{e}^{t}}\cdot \frac{dt}{2}}=\frac{1}{2}\int{{{e}^{t}}dt}\]

В итоге преобразований получили табличный интеграл:

    \[\int{{{e}^{2x}}dx}=\frac{1}{2}{{e}^{t}}+C\]

Возвращаемся к начальной переменной, то есть делаем обратную подстановку t=2x. В результате будем иметь:

    \[\int{{{e}^{2x}}dx}=\frac{1}{2}{{e}^{2x}}+C\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Решить интеграл \int{x\sqrt{x-1}dx}
Решение Сделаем замену x-1={{t}^{2}}, тогда x={{t}^{2}}+1 и dx=2tdt. Заданный интеграл принимает вид:

    \[\int{x\sqrt{x-1}dx}=\int{\left( {{t}^{2}}+1 \right)\sqrt{{{t}^{2}}}\cdot 2tdt}=2\int{{{t}^{2}}\left( {{t}^{2}}+1 \right)dt}=2\int{\left( {{t}^{4}}+{{t}^{2}} \right)dt}=\]

    \[=2\int{{{t}^{4}}dt}+2\int{{{t}^{2}}dt}=2\cdot \frac{{{t}^{5}}}{5}+2\cdot \frac{{{t}^{3}}}{3}+C=\frac{2{{t}^{5}}}{5}+\frac{2{{t}^{3}}}{3}+C\ \left\| \begin{matrix} 				 t^{2}=x-1 \Rightarrow\\  				 t=\sqrt{x-1} \\  				\end{matrix} \right\|=\]

    \[=\frac{2{{\left( \sqrt{x-1} \right)}^{5}}}{5}+\frac{2{{\left( \sqrt{x-1} \right)}^{3}}}{3}+C=\frac{2\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{5}}}}{5}+\frac{2\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{3}}}}{3}+C\]

Ответ