Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Отношение периметров подобных треугольников

Теорема об отношении периметров подобных треугольников

ТЕОРЕМА
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Пусть треугольник ABC подобен треугольнику A_1 B_1 C_1 с коэффициентом подобия k. Тогда

    \[\frac{AB}{A_1 B_1 } =\frac{BC}{B_1 C_1 } =\frac{AC}{A_1 C_1 } =k,\]

откуда AB=k\cdot A_1 B_1 ,\ BC=k\cdot B_1 C_1 ,\ AC=k\cdot A_1 C_1. Обозначим Pпериметр треугольника ABC, а P_1 – периметр подобного ему треугольника A_1 B_1 C_1. Имеем:

    \[P=AB+BC+AC=k\cdot A_1 B_1 +k\cdot B_1 C_1 +k\cdot A_1 C_1 =k\cdot P_1 ,\]

то есть

    \[\frac{P}{P_1 } =k\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Стороны треугольника равняются a_1 =15 см,\ b_1 =25 см и c_1 =35 см. Найти стороны подобного ему треугольника, если его периметр равен 45 см.
Решение Известно, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Периметр первого треугольника равен

P_1 =15 см+25 см +35 см =75 см

а второго P_2 =45 см (по условию). Найдем отношение периметров

    \[\frac{P_2 }{P_1 } =\frac{45}{75} =\frac{3}{5} \]

Следовательно, коэффициент подобия треугольников равен \frac{3}{5}. Поэтому, стороны второго треугольника будут равны

    \[a_2 =\frac{3}{5} \cdot 15=9\ cm, b_2 =\frac{3}{5} \cdot 25=15\ cm, c_2 =\frac{3}{5} \cdot 35=21\ cm\]

Ответ a_2 =9 см,b_2 = 15 см,c_2 = 21 см
ПРИМЕР 2
Задание Треугольники ABC и A_1 B_1 C_1 подобны с коэффициентом подобия k=3. Найти периметры этих треугольников, если AB=3 см,\ BC=5 см,\ AC=12 см.
Решение Найдем периметр треугольника ABC:

P_{ABC} =3+5+12=20 см

Так как отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия, то

P_{A_1 B_1 C_1} =3\cdot P_{ABC} =3\cdot 20=60 см

Ответ P_{ABC} =20 см,\ P_{A_1 B_1 C_1} =60 см