Отношение периметров подобных треугольников

Теорема об отношении периметров подобных треугольников

ТЕОРЕМА

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Пусть треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A_1 B_1 C_1$ с коэффициентом подобия $k$ . Тогда

$\frac{AB}{A_1 B_1 } =\frac{BC}{B_1 C_1 } =\frac{AC}{A_1 C_1 } =k,$

откуда $AB=k\cdot A_1 B_1 ,\ BC=k\cdot B_1 C_1 ,\ AC=k\cdot A_1 C_1$ . Обозначим $P$ – периметр треугольника $ABC$ , а $P_1$ – периметр подобного ему треугольника $A_1 B_1 C_1$ . Имеем:

$P=AB+BC+AC=k\cdot A_1 B_1 +k\cdot B_1 C_1 +k\cdot A_1 C_1 =k\cdot P_1 ,$

то есть

$\frac{P}{P_1 } =k$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Стороны треугольника равняются $a_1 =15$ см $,\ b_1 =25$ см и $c_1 =35$ см. Найти стороны подобного ему треугольника, если его периметр равен $45$ см.

Решение

Известно, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Периметр первого треугольника равен

$P_1 =15$ см $+25$ см $+35$ см $=75$ см

а второго $P_2 =45$ см (по условию). Найдем отношение периметров

$\frac{P_2 }{P_1 } =\frac{45}{75} =\frac{3}{5}$

Следовательно, коэффициент подобия треугольников равен $\frac{3}{5}$ . Поэтому, стороны второго треугольника будут равны

$a_2 =\frac{3}{5} \cdot 15=9\ cm, b_2 =\frac{3}{5} \cdot 25=15\ cm, c_2 =\frac{3}{5} \cdot 35=21\ cm$

Ответ

$a_2 =9$ см $,b_2 = 15$ см $,c_2 = 21$ см

ПРИМЕР 2

Задание

Треугольники $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$ подобны с коэффициентом подобия $k=3$ . Найти периметры этих треугольников, если $AB=3$ см $,\ BC=5$ см $,\ AC=12$ см.