Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Отношение площадей подобных треугольников

Теорема об отношении площадей подобных треугольников

Для подобных треугольников ABC и A_1 B_1 C_1 с коэффициентом подобия k справедлива следующая теорема:

ТЕОРЕМА
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство. Обозначим через S и S_1 площади треугольников ABC и A_1 B_1 C_1 с коэффициентом подобия k. Так как \angle A=\angle A_1, то

    \[\frac{S}{S_1 } =\frac{AB\cdot AC}{A_1 B_1 \cdot A_1 C_1 } \]

Из свойств подобных треугольников следует, что \frac{AB}{A_1 B_1 } =k,\ \frac{AC}{A_1 C_1 } =k. Тогда

    \[\frac{S}{S_1 } =k^2 \]

Что и требовалось доказать.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Треугольники ABC и A_1 B_1 C_1 подобны. Площадь треугольника ABC равна 100 см ^{2}, а площадь треугольника A_1 B_1 C_1 равна 25 см ^{2}. Найти сторону A_1 B_1, если AB=6 см.
Решение Найдем отношение площадей треугольников ABC и A_1 B_1 C_1

    \[\frac{S}{S_1 } =\frac{100}{25} =4,\]

т.е. k^2 =4,\ k=2. Тогда из подобия треугольников следует

    \[\frac{AB}{A_1 B_1 } =2\Rightarrow A_1 B_1 =\frac{AB}{2} =\frac{6}{2} =3\ cm\]

Ответ A_1 B_1 =3 см
ПРИМЕР 2
Задание Треугольники ABC и A_1 B_1 C_1 подобны с коэффициентом подобия k=3. Найти площадь треугольника A_1 B_1 C_1, если AB=5\ cm,\ BC=4 см,\ \angle B=30^{\circ}.
Решение Найдем площадь треугольника ABC по формуле

    \[S=\frac{1}{2} AB\cdot BC\cdot \sin \angle B=\frac{1}{2} \cdot 5\cdot 4\cdot \frac{1}{2} =5\ cm^2 \]

Поскольку треугольники ABC и A_1 B_1 C_1 подобные, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия, т.е.

    \[\frac{S_1 }{5} =3^2 ,\]

откуда S_1 =45 см ^{2}

Ответ S_1 =45 см ^{2}