Отношение площадей подобных треугольников

Теорема об отношении площадей подобных треугольников

Для подобных треугольников $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$ с коэффициентом подобия $k$ справедлива следующая теорема:

ТЕОРЕМА

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство. Обозначим через $S$ и $S_1$ площади треугольников $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$ с коэффициентом подобия $k$ . Так как $\angle A=\angle A_1$ , то

$\frac{S}{S_1 } =\frac{AB\cdot AC}{A_1 B_1 \cdot A_1 C_1 }$

Из свойств подобных треугольников следует, что $\frac{AB}{A_1 B_1 } =k,\ \frac{AC}{A_1 C_1 } =k$ . Тогда

$\frac{S}{S_1 } =k^2$

Что и требовалось доказать.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Треугольники $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$ подобны. Площадь треугольника $ABC$ равна 100 см $^{2}$ , а площадь треугольника $A_1 B_1 C_1$ равна 25 см $^{2}$ . Найти сторону $A_1 B_1$ , если $AB=6$ см.

Решение

Найдем отношение площадей треугольников $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$

$\frac{S}{S_1 } =\frac{100}{25} =4,$

т.е. $k^2 =4,\ k=2$ . Тогда из подобия треугольников следует

$\frac{AB}{A_1 B_1 } =2\Rightarrow A_1 B_1 =\frac{AB}{2} =\frac{6}{2} =3\ cm$

Ответ

$A_1 B_1 =3$ см

ПРИМЕР 2

Задание

Треугольники $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$ подобны с коэффициентом подобия $k=3$ . Найти площадь треугольника $A_1 B_1 C_1$ , если $AB=5\ cm,\ BC=4$ см $,\ \angle B=30^{\circ}$ .