Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формула подобия треугольников

Определение и формула подобия треугольников

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Треугольники называются подобными, если у них равны углы и пропорциональны стороны (рис. 1).
Формула подобия треугольников

Рис.1

Рассмотрим подобные треугольники ABC и A_1 B_1 C_1. Соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны, то есть

    \[\frac{AB}{A_1 B_1 } =\frac{BC}{B_1 C_1 } =\frac{AC}{A_1 C_1 } =k,\]

где kкоэффициент подобия треугольников.

Тогда отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

    \[\frac{S_{ABC} }{S_{A_1 B_1 C_1 } } =k^2 \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Треугольники ABC и A_1 B_1 C_1 подобны. Найти сторону BC, если B_1 C_1 =8 см, площадь треугольника ABC равна 64 см ^{2}, а площадь треугольника A_1 B_1 C_1 равна 128 см ^{2}.
Решение Найдем отношение площадей треугольников ABC и A_1 B_1 C_1

    \[\frac{S}{S_1 } =\frac{64}{128} =\frac{1}{2} ,\]

т.е. коэффициент подобия

    \[k^2 =\frac{1}{2} \Rightarrow k=\frac{1}{\sqrt{2} } \]

Тогда из подобия треугольников следует

    \[\frac{BC}{B_1 C_1 } =\frac{1}{\sqrt{2} } \Rightarrow BC=\frac{1}{\sqrt{2} } B_1 C_1 =4\sqrt{2} \ cm\]

Ответ BC=4\sqrt{2} см
ПРИМЕР 2
Задание Треугольники ABC и A_1 B_1 C_1 подобны с коэффициентом подобия k=4. Найти площадь треугольника A_1 B_1 C_1, если AB=5 см, BC=4 см, AC=7 см.
Решение Найдем площадь треугольника ABC по формуле Герона:

    \[S=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} ,\]

где p=\frac{AB+BC+AC}{2} =\frac{5+4+7}{2} =8 см – полупериметр треугольника ABC. Тогда

S=\sqrt{8\cdot (8-5)\cdot (8-4)\cdot (8-7)} =4\sqrt{6} см ^{2}

Поскольку треугольники ABC и A_1 B_1 C_1 подобные, то отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия, т.е.

    \[\frac{4\sqrt{6} }{S_1 } =4^2 =16,\]

откуда S_1 =\frac{\sqrt{6} }4 = 0,25 \sqrt{6} см ^{2}

Ответ S_1 = 0,25 \sqrt{6} см ^{2}