Коэффициент подобия треугольников

Определение и формула коэффициента подобия треугольников

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Треугольники называются подобными, если у них равные углы и соответствующие стороны пропорциональны.

Рис.1

На рисунке 1 изображены подобные треугольники $ABC$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ , у которых

$\frac{AB}{A_{1} B_{1} } =\frac{BC}{B_{1} C_{1} } =\frac{CA}{C_{1} A_{1} } =k,\quad \angle A=\angle A_{1} ,\; \angle B=\angle B_{1} ,\; \angle C=\angle C_{1}$

Число $k$ , которое равняется отношению соответствующих сторон треугольников, называется коэффициентом подобия.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=3$ см $,\ BC=6$ см на стороне $AC$ отметили точку $K$ , так, что треугольники $ABC$ и $AKB$ подобны с коэффициентом подобия $k=3$ . Найти $AC$ и $KB$ .

Решение

Поскольку треугольники $ABC$ и $AKB$ подобны, то их соответствующие стороны пропорциональны, т.е.

$\frac{AB}{AK} =\frac{BC}{KB} =\frac{AC}{AB} =3$

Тогда

$\frac{BC}{KB} =\frac{6}{KB} =3\Rightarrow KB=2\ cm$

$\frac{AC}{AB} =\frac{AC}{3} =3\Rightarrow AC=9\ cm$

Ответ

$AC=9$ см $,\ KB=2$ см

ПРИМЕР 2

Задание

Стороны $MK$ и $DE,\ KT$ и $EF$ – соответствующие стороны подобных треугольников $MKT$ и $DEF$ , причем $MK=18$ см $,\ KT=16$ см $,\ MT=28$ см $,\ MK:DE=4:5$ . Найти стороны треугольника $DEF$ .

Решение

Сделаем рисунок.

Треугольники $MKT$ и $DEF$ – подобные, а отношение их сторон $MK:DE=4:5$ . Значит, коэффициент подобия этих треугольников $k=\frac{4}{5}$ . Следовательно,

$MK=\frac{4}{5} \cdot DE\Rightarrow DE=22,5\ cm,\ KT=\frac{4}{5} \cdot EF\Rightarrow EF=20\ cm$

$MT=\frac{4}{5} \cdot DF\Rightarrow DF=35\ cm$

Ответ

$DE=22,5$ см $,\ EF=20$ см $,\ DF=35$ см

Понравился сайт? Расскажи друзьям!