Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Доказательство подобия треугольников

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Треугольники называются подобными, если у них равные углы и стороны пропорциональны

Лемма (О подобных треугольниках) и доказательство

Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.

Доказательство подобия треугольников

Доказательство. На рисунке 1 в \Delta ABC проведена прямая A_1 C_1 ||AC. Докажем, что \Delta A_1B C_1 \sim \Delta ABC. Углы \angle A=\angle A_1 ,\ \angle C=\angle C_1 равны как соответствующие при параллельных прямых A_1 C_1 и AC и секущих AB и CB соответственно. Следовательно, углы рассматриваемых треугольников равны. Покажем, что стороны BA и BC пропорциональны соответственно сторонам BA_1 и BC_1.

Из теоремы о пропорциональных отрезках следует, что

    \[\frac{BA}{BC} =\frac{BA_1 }{BC_1 } ,\]

откуда \frac{BA}{BA_1 } =\frac{BC}{AC_1 }. Проведем C_1 C||AB. Аналогично,

    \[\frac{BC}{BC_1 } =\frac{AC}{AC_2 } \]

Очевидно, что AA_1 C_1 C_2 – параллелограмм. Тогда AC_2 =A_1 C_1, откуда \frac{BC}{BC_1 } =\frac{AC}{A_1 C_1 }. Таким образом, было доказано, что

    \[\frac{BA}{BA_1 } =\frac{BC}{BC_1 } =\frac{AC}{A_1 C_1 } \]

Следовательно, в треугольниках \Delta A_1B C_1 и \Delta ABC углы равны и соответствующие стороны пропорциональны. Поэтому, по определению, эти треугольники подобны.

Что и требовалось доказать.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает сторону AB в точке D, а сторону BC – в точке E. Найти BD, если AB=16 см ,\ AC=20 см ,\ DE=15 см.
Решение В треугольнике ABC (рис. 2) прямая DE||AC отсекает от него треугольник DBE, подобный данному, т.е. \Delta DBE\sim \Delta ABC. Следовательно,

    \[    \frac{BD}{AB} =\frac{DE}{AC} \]

или

    \[    \frac{BD}{16} =\frac{15}{20} \]

откуда BD=\frac{15\cdot 16}{20} =12 см

Ответ BD=12 см
ПРИМЕР 2
Задание В треугольнике ABC\ AB=6 см. Через точку M стороны AB провели прямую, которая параллельна стороне BC и пересекает сторону AC в точке K. Найти неизвестные стороны треугольника ABC, если AM=4 см ,\ MK=8 см ,\ AK=9 см.
Решение В треугольнике ABC прямая MK параллельна стороне BC и пересекает две другие стороны, а значит \Delta KAM\sim \Delta BAC. Следовательно, стороны данных треугольников пропорциональны, т.е.

    \[ \frac{AK}{AC} =\frac{AM}{AB} =\frac{MK}{BC} \]

или

    \[\frac{9}{AC} =\frac{4}{6} =\frac{8}{BC} \]

Из последних равенств находим AC=13,5 см ,\ BC=12 см.

Ответ AC=13,5 см ,\ BC=12 см