Доказательство подобия треугольников
Лемма (О подобных треугольниках) и доказательство
Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.
Доказательство. На рисунке 1 в проведена прямая . Докажем, что . Углы равны как соответствующие при параллельных прямых и и секущих и соответственно. Следовательно, углы рассматриваемых треугольников равны. Покажем, что стороны и пропорциональны соответственно сторонам и .
Из теоремы о пропорциональных отрезках следует, что
откуда . Проведем . Аналогично,
Очевидно, что – параллелограмм. Тогда , откуда . Таким образом, было доказано, что
Следовательно, в треугольниках и углы равны и соответствующие стороны пропорциональны. Поэтому, по определению, эти треугольники подобны.
Что и требовалось доказать.
Примеры решения задач
Задание | Прямая, параллельная стороне треугольника , пересекает сторону в точке , а сторону – в точке . Найти , если см см см.
|
Решение | В треугольнике (рис. 2) прямая отсекает от него треугольник , подобный данному, т.е. . Следовательно,
или
откуда см |
Ответ | см |
Задание | В треугольнике см. Через точку стороны провели прямую, которая параллельна стороне и пересекает сторону в точке . Найти неизвестные стороны треугольника , если см см см. |
Решение | В треугольнике прямая параллельна стороне и пересекает две другие стороны, а значит . Следовательно, стороны данных треугольников пропорциональны, т.е.
или
Из последних равенств находим см см. |
Ответ | см см |