Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Синус в квадрате

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Квадрат синуса можно выразить следующим образом

    \[ {{\sin }^{2}}\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2} \]

Эта формула называется формулой понижения степени синуса.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти значение функции f(x)=3{{\sin }^{2}}x+5x-2, если \cos 2x=\frac{1}{2}
Решение Из того, что \cos 2x=\frac{1}{2} следует, что 2x=\frac{\pi }{3}, а x=\frac{\pi }{6}. Воспользуемся формулой понижения степени и выразим квадрат синуса:

    \[{{\sin }^{2}}x=\frac{1-\cos 2x}{2}\]

Подставим полученное выражение в функцию и найдем значение функции в точке x=\frac{\pi }{6}:

    \[f\left( \frac{\pi }{6} \right)=3\cdot \frac{1-\cos 2\cdot \frac{\pi }{6}}{2}+5\cdot \frac{\pi }{6}-2=-\frac{5}{4}+\frac{5\pi }{6}\]

Ответ -\frac{5}{4}+\frac{5\pi }{6}
ПРИМЕР 2
Задание Упростить выражение {{\sin }^{2}}(\alpha +2\beta )-{{\sin }^{2}}(\alpha -2\beta )
Решение Упростим выражение с помощью формулы квадрата синуса

    \[ {{\sin }^{2}}(\alpha +2\beta )-{{\sin }^{2}}(\alpha -2\beta )=\frac{1-\cos (2\alpha +4\beta )}{2}-\frac{1-\cos (2\alpha -4\beta )}{2}=\]

    \[ =\frac{1}{2}(\cos (2\alpha -4\beta )-\cos (2\alpha +4\beta ))\]

Полученное выражение представляет собой правую часть формулы произведения синусов, т.е.

    \[\frac{1}{2}(\cos (2\alpha -4\beta )-\cos (2\alpha +4\beta ))=\sin 2\alpha \cdot \sin 4\beta \]

Ответ {{\sin }^{2}}(\alpha +2\beta )-{{\sin }^{2}}(\alpha -2\beta )=\sin 2\alpha \cdot \sin 4\beta