Синус в квадрате

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Квадрат синуса можно выразить следующим образом

${{\sin }^{2}}\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$

Эта формула называется формулой понижения степени синуса.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Найти значение функции $f(x)=3{{\sin }^{2}}x+5x-2$ , если $\cos 2x=\frac{1}{2}$

Решение

Из того, что $\cos 2x=\frac{1}{2}$ следует, что $2x=\frac{\pi }{3}$ , а $x=\frac{\pi }{6}$ . Воспользуемся формулой понижения степени и выразим квадрат синуса:

${{\sin }^{2}}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$

Подставим полученное выражение в функцию и найдем значение функции в точке $x=\frac{\pi }{6}$ :

$f\left( \frac{\pi }{6} \right)=3\cdot \frac{1-\cos 2\cdot \frac{\pi }{6}}{2}+5\cdot \frac{\pi }{6}-2=-\frac{5}{4}+\frac{5\pi }{6}$

Ответ

$-\frac{5}{4}+\frac{5\pi }{6}$

ПРИМЕР 2

Задание

Упростить выражение ${{\sin }^{2}}(\alpha +2\beta )-{{\sin }^{2}}(\alpha -2\beta )$

Решение

Упростим выражение с помощью формулы квадрата синуса

${{\sin }^{2}}(\alpha +2\beta )-{{\sin }^{2}}(\alpha -2\beta )=\frac{1-\cos (2\alpha +4\beta )}{2}-\frac{1-\cos (2\alpha -4\beta )}{2}=$

$=\frac{1}{2}(\cos (2\alpha -4\beta )-\cos (2\alpha +4\beta ))$

Полученное выражение представляет собой правую часть формулы произведения синусов, т.е.

$\frac{1}{2}(\cos (2\alpha -4\beta )-\cos (2\alpha +4\beta ))=\sin 2\alpha \cdot \sin 4\beta$

Ответ

${{\sin }^{2}}(\alpha +2\beta )-{{\sin }^{2}}(\alpha -2\beta )=\sin 2\alpha \cdot \sin 4\beta$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Синус в квадрате

Примеры решения задач