Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Косинус в квадрате

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Квадрат косинуса можно выразить следующим образом

    \[ {{\cos }^{2}}\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2} \]

Эта формула называется формулой понижения степени косинуса.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Вычислить интеграл

    \[ \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{({{\cos }^{2}}}x+\sin 2x)dx \]

Решение Для того чтобы упростить подынтегральную функцию, будем использовать формулу понижения степени косинуса:

    \[ \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{({{\cos }^{2}}}x+\sin 2x)dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( \frac{1+\cos 2x}{2}+\sin 2x \right)}dx= \]

    \[ =\frac{1}{2}\left( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{dx}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\cos 2xdx} \right)+\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\sin 2x}dx=\frac{1}{2}\left. \left( x+\frac{\sin 2x}{2} \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{4}}-\left. \frac{\cos 2x}{2} \right|_{0}^{\frac{\pi }{4}}= \]

    \[ =\frac{1}{2}\left( \frac{\pi }{4}+\frac{\sin \frac{\pi }{2}}{2}-0 \right)-\left( \frac{\cos \frac{\pi }{2}}{2}-\frac{\cos 0}{2} \right)=\frac{\pi +2}{8}+\frac{1}{2}=\frac{\pi +6}{8}\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Упростить выражение

    \[ {{\cos }^{2}}\left( \frac{3\pi }{8}-\frac{\alpha }{4} \right)-{{\cos }^{2}}\left( \frac{11\pi }{8}+\frac{\alpha }{4} \right) \]

Решение Упростим выражение с помощью формулы квадрата косинуса:

    \[ {{\cos }^{2}}\left( \frac{3\pi }{8}-\frac{\alpha }{4} \right)-{{\cos }^{2}}\left( \frac{11\pi }{8}+\frac{\alpha }{4} \right)=\frac{1+\cos \left( \frac{3\pi }{4}-\frac{\alpha }{2} \right)}{2}-\frac{1+\cos \left( \frac{11\pi }{4}+\frac{\alpha }{2} \right)}{2}= \]

    \[ =\frac{1}{2}\left( \cos \left( \frac{3\pi }{4}-\frac{\alpha }{2} \right)-\cos \left( \frac{11\pi }{4}+\frac{\alpha }{2} \right) \right)\]

Преобразуем каждый из членов разности следующим образом:

    \[\cos \left( \frac{3\pi }{4}-\frac{\alpha }{2} \right)=\cos \left( \pi -\left( \frac{\pi }{4}+\frac{\alpha }{2} \right) \right)=-\cos \left( \frac{\pi }{4}+\frac{\alpha }{2} \right)\]

и

    \[\cos \left( \frac{11\pi }{4}+\frac{\alpha }{2} \right)=\cos \left( 3\pi -\left( \frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2} \right) \right)=-\cos \left( \frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2} \right)\]

Тогда

    \[\frac{1}{2}\left( \cos \left( \frac{3\pi }{4}-\frac{\alpha }{2} \right)-\cos \left( \frac{11\pi }{4}+\frac{\alpha }{2} \right) \right)=\frac{1}{2}\left( \cos \left( \frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2} \right)-\cos \left( \frac{\pi }{4}+\frac{\alpha }{2} \right) \right)\]

Полученное выражение представляет собой правую часть формулы произведения синусов, т.е.

    \[\frac{1}{2}\left( \cos \left( \frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2} \right)-\cos \left( \frac{\pi }{4}+\frac{\alpha }{2} \right) \right)=\sin \frac{\pi }{4}\cdot \sin \frac{\alpha }{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \frac{\alpha }{2}\]

Ответ