Косинус в квадрате

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Квадрат косинуса можно выразить следующим образом

${{\cos }^{2}}\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}$

Эта формула называется формулой понижения степени косинуса.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Вычислить интеграл

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{({{\cos }^{2}}}x+\sin 2x)dx$

Решение

Для того чтобы упростить подынтегральную функцию, будем использовать формулу понижения степени косинуса:

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{({{\cos }^{2}}}x+\sin 2x)dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( \frac{1+\cos 2x}{2}+\sin 2x \right)}dx=$

$=\frac{1}{2}\left( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{dx}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\cos 2xdx} \right)+\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\sin 2x}dx=\frac{1}{2}\left. \left( x+\frac{\sin 2x}{2} \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{4}}-\left. \frac{\cos 2x}{2} \right|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=$

$=\frac{1}{2}\left( \frac{\pi }{4}+\frac{\sin \frac{\pi }{2}}{2}-0 \right)-\left( \frac{\cos \frac{\pi }{2}}{2}-\frac{\cos 0}{2} \right)=\frac{\pi +2}{8}+\frac{1}{2}=\frac{\pi +6}{8}$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Упростить выражение

${{\cos }^{2}}\left( \frac{3\pi }{8}-\frac{\alpha }{4} \right)-{{\cos }^{2}}\left( \frac{11\pi }{8}+\frac{\alpha }{4} \right)$

Решение

Упростим выражение с помощью формулы квадрата косинуса:

${{\cos }^{2}}\left( \frac{3\pi }{8}-\frac{\alpha }{4} \right)-{{\cos }^{2}}\left( \frac{11\pi }{8}+\frac{\alpha }{4} \right)=\frac{1+\cos \left( \frac{3\pi }{4}-\frac{\alpha }{2} \right)}{2}-\frac{1+\cos \left( \frac{11\pi }{4}+\frac{\alpha }{2} \right)}{2}=$

$=\frac{1}{2}\left( \cos \left( \frac{3\pi }{4}-\frac{\alpha }{2} \right)-\cos \left( \frac{11\pi }{4}+\frac{\alpha }{2} \right) \right)$

Преобразуем каждый из членов разности следующим образом:

$\cos \left( \frac{3\pi }{4}-\frac{\alpha }{2} \right)=\cos \left( \pi -\left( \frac{\pi }{4}+\frac{\alpha }{2} \right) \right)=-\cos \left( \frac{\pi }{4}+\frac{\alpha }{2} \right)$

$\cos \left( \frac{11\pi }{4}+\frac{\alpha }{2} \right)=\cos \left( 3\pi -\left( \frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2} \right) \right)=-\cos \left( \frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2} \right)$

Тогда

$\frac{1}{2}\left( \cos \left( \frac{3\pi }{4}-\frac{\alpha }{2} \right)-\cos \left( \frac{11\pi }{4}+\frac{\alpha }{2} \right) \right)=\frac{1}{2}\left( \cos \left( \frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2} \right)-\cos \left( \frac{\pi }{4}+\frac{\alpha }{2} \right) \right)$

Полученное выражение представляет собой правую часть формулы произведения синусов, т.е.

$\frac{1}{2}\left( \cos \left( \frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2} \right)-\cos \left( \frac{\pi }{4}+\frac{\alpha }{2} \right) \right)=\sin \frac{\pi }{4}\cdot \sin \frac{\alpha }{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \frac{\alpha }{2}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Косинус в квадрате

Примеры решения задач