Синус тройного угла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Синус тройного угла выражается через синус этого угла следующим образом

$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{{\sin }^{3}}\alpha$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Найти значение $\sin 3\alpha$ , если $\text{ctg}\alpha =2, \quad 0<\alpha <\frac{\pi }{2}$

Решение

Пользуясь основными тригонометрическими тождествами выразим синус через котангенс

${{\sin }^{2}}\alpha =\frac{1}{1+\text{ctg}^{2}\alpha}=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$

откуда $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}$

Подставим полученное значение в формулу синуса тройного угла

$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{{\sin }^{3}}\alpha =\frac{3}{\sqrt{5}}-\frac{4}{5\sqrt{5}}=\frac{11}{5\sqrt{5}}=\frac{11\sqrt{5}}{25}$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Упростить выражение

$\frac{\sin 3\alpha +\sin \alpha }{4{{\cos }^{2}}\alpha }$

Решение

Используя формулу синуса тройного угла, преобразуем выражение

$\frac{\sin 3\alpha +\sin \alpha }{4{{\cos }^{2}}\alpha }=\frac{3\sin \alpha -4{{\sin }^{3}}\alpha +\sin \alpha }{4{{\cos }^{2}}\alpha }=\frac{4\sin \alpha -4{{\sin }^{3}}\alpha }{4{{\cos }^{2}}\alpha }=\frac{4\sin \alpha (1-{{\sin }^{2}}\alpha )}{4{{\cos }^{2}}\alpha }=$

$=\frac{4\sin \alpha {{\cos }^{2}}\alpha }{4{{\cos }^{2}}\alpha }=\sin \alpha$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Синус тройного угла

Примеры решения задач