Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Синус тройного угла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Синус тройного угла выражается через синус этого угла следующим образом

    \[ \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{{\sin }^{3}}\alpha  \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти значение \sin 3\alpha, если \text{ctg}\alpha =2, \quad 0<\alpha <\frac{\pi }{2}
Решение Пользуясь основными тригонометрическими тождествами выразим синус через котангенс

    \[{{\sin }^{2}}\alpha =\frac{1}{1+\text{ctg}^{2}\alpha}=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}\]

откуда \sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}

Подставим полученное значение в формулу синуса тройного угла

    \[\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{{\sin }^{3}}\alpha =\frac{3}{\sqrt{5}}-\frac{4}{5\sqrt{5}}=\frac{11}{5\sqrt{5}}=\frac{11\sqrt{5}}{25}\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Упростить выражение

    \[ \frac{\sin 3\alpha +\sin \alpha }{4{{\cos }^{2}}\alpha } \]

Решение Используя формулу синуса тройного угла, преобразуем выражение

    \[ \frac{\sin 3\alpha +\sin \alpha }{4{{\cos }^{2}}\alpha }=\frac{3\sin \alpha -4{{\sin }^{3}}\alpha +\sin \alpha }{4{{\cos }^{2}}\alpha }=\frac{4\sin \alpha -4{{\sin }^{3}}\alpha }{4{{\cos }^{2}}\alpha }=\frac{4\sin \alpha (1-{{\sin }^{2}}\alpha )}{4{{\cos }^{2}}\alpha }= \]

    \[ =\frac{4\sin \alpha {{\cos }^{2}}\alpha }{4{{\cos }^{2}}\alpha }=\sin \alpha\]

Ответ