Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Тригонометрические формулы понижения степени

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Формулы понижения степени – это тригонометрические формулы позволяющие перейти от степеней тригонометрических функций к функциям в первой степени, но от кратного аргумента.

Формулы понижения степени для квадрата

Чаще всего на практике используются формулы понижения степени для квадрата:

    \[{{\sin }^{2}}\alpha =\frac{1}{2}\cdot \left( 1-\cos 2\alpha  \right); \qquad {{\cos }^{2}}\alpha =\frac{1}{2}\cdot \left( 1+\cos 2\alpha  \right)\qquad\qquad(1)\]

Формулы (1) напрямую следуют из формул косинуса двойного угла:

    \[\cos 2\alpha =1-2{{\sin }^{2}}\alpha \quad \Rightarrow \quad 2{{\sin }^{2}}\alpha =1-\cos 2\alpha \quad \Rightarrow \quad {{\sin }^{2}}\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}\]

    \[\cos 2\alpha =2{{\cos }^{2}}\alpha -1\quad \Rightarrow \quad 2{{\cos }^{2}}\alpha =1+\cos 2\alpha \quad \Rightarrow \quad {{\cos }^{2}}\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}\]

Формулы понижения степени для куба косинуса или синуса

    \[{{\sin }^{3}}\alpha =\frac{1}{4}\cdot \left( 3\sin \alpha -\sin 3\alpha  \right) {{\cos }^{3}}\alpha =\frac{1}{4}\cdot \left( 3\cos \alpha +\cos 3\alpha  \right)\qquad\qquad(2)\]

Вывести эти формулы можно двумя способами.

Первый способ. Формулы (2) напрямую следуют из тригонометрических функций тройного угла:

    \[\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{{\sin }^{3}}\alpha \Rightarrow 4{{\sin }^{3}}\alpha =3\sin \alpha -\sin 3\alpha \Rightarrow {{\sin }^{3}}\alpha =\frac{\left( 3\sin \alpha -\sin 3\alpha  \right)}{4}\]

    \[\cos 3\alpha =4{{\cos }^{3}}\alpha -3\cos \alpha \Rightarrow 4{{\cos }^{3}}\alpha =3\cos \alpha +\cos 3\alpha \Rightarrow {{\sin }^{3}}\alpha =\frac{\left( 3\cos \alpha +\cos 3\alpha  \right)}{4}\]

Второй способ. Формулы понижения степени (2) можно вывести, используя формулы (1) и формулы произведения тригонометрических функций. Рассмотрим третью степень синуса

    \[{{\sin }^{3}}\alpha =\sin \alpha \cdot {{\sin }^{2}}\alpha \]

Применим одну из формул (1)

    \[{{\sin }^{3}}\alpha =\sin \alpha \cdot {{\sin }^{2}}\alpha =\sin \alpha \cdot \frac{\left( 1-\cos 2\alpha  \right)}{2}=\frac{1}{2}\cdot \left( \sin \alpha -\sin \alpha \cos 2\alpha  \right) \]

далее применим формулу произведения синусов: \sin \alpha \cos \beta =\frac{\sin \left( \alpha -\beta  \right)+\sin \left( \alpha +\beta  \right)}{2}:

    \[{{\sin }^{3}}\alpha =\frac{1}{2}\cdot \left( \sin \alpha -\sin \alpha \cos 2\alpha  \right)=\frac{1}{2}\cdot \left( \sin \alpha -\frac{\sin \left( -\alpha  \right)}{2}-\frac{\sin 3\alpha }{2} \right)= \]

    \[=\frac{1}{2}\cdot \left( \sin \alpha +\frac{\sin \alpha }{2}-\frac{\sin 3\alpha }{2} \right)=\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{3\sin \alpha }{2}-\frac{\sin 3\alpha }{2} \right)=\frac{1}{4}\left( 3\sin \alpha -\sin 3\alpha  \right)\]

Аналогично,

    \[{{\cos }^{3}}\alpha =\cos \alpha \cdot {{\cos }^{2}}\alpha =\cos \alpha \cdot \frac{\left( 1+\cos 2\alpha  \right)}{2}=\frac{1}{2}\cdot \left( \cos \alpha +\cos \alpha \cos 2\alpha  \right)\]

далее применим формулу произведения косинусов: \cos \alpha \cos \beta =\frac{\cos \left( \alpha -\beta  \right)+\cos \left( \alpha +\beta  \right)}{2}:

    \[{{\cos }^{3}}\alpha =\cos \frac{1}{2}\cdot \left( \cos \alpha +\cos \alpha \cos 2\alpha  \right)=\frac{1}{2}\cdot \left( \cos \alpha +\frac{\cos \left( -\alpha  \right)}{2}+\frac{\cos 3\alpha }{2} \right)= \]

    \[=\frac{1}{2}\cdot \left( \cos \alpha +\frac{\cos \alpha }{2}+\frac{\cos 3\alpha }{2} \right)=\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{3\cos \alpha }{2}+\frac{\cos 3\alpha }{2} \right)=\frac{1}{4}\left( 3\cos \alpha +\cos 3\alpha  \right)\]

Формулы понижения степени для четвертой степени косинуса или синуса

    \[{{\sin }^{4}}\alpha =\frac{1}{8}\cdot \left( \cos 4\alpha -4\cos 2\alpha +3 \right).{{\cos }^{4}}\alpha =\frac{1}{8}\cdot \left( \cos 4\alpha +4\cos 2\alpha +3 \right) \]

Эти формулы доказываются применением к ним дважды формул (1):

    \[{{\sin }^{4}}\alpha ={{\left( {{\sin }^{2}}\alpha  \right)}^{2}}={{\left( \frac{1-\cos 2\alpha }{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}\left( 1+2\cos 2\alpha +{{\cos }^{2}}2\alpha  \right)= \]

    \[=\frac{1}{4}\left( 1-2\cos 2\alpha +\frac{1+\cos 4\alpha }{2} \right)=\frac{1}{4}\left( \frac{3}{2}-\frac{4\cos 2\alpha }{2}+\frac{\cos 4\alpha }{2} \right)=\frac{1}{8}\left( \cos 4\alpha -4\cos 2\alpha +3 \right)\]

    \[{{\cos }^{4}}\alpha ={{\left( {{\cos }^{2}}\alpha  \right)}^{2}}={{\left( \frac{1+\cos 2\alpha }{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}\left( 1+2\cos 2\alpha +{{\cos }^{2}}2\alpha  \right)=\]

    \[ =\frac{1}{4}\left( 1+2\cos 2\alpha +\frac{1+\cos 4\alpha }{2} \right)=\frac{1}{4}\left( \frac{3}{2}+\frac{4\cos 2\alpha }{2}+\frac{\cos 4\alpha }{2} \right)=\frac{1}{8}\left( \cos 4\alpha +4\cos 2\alpha +3 \right)\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Понизить степень следующих выражений

1) {{\cos }^{2}}4x

2) {{\sin }^{2}}3x

Решение 1) Воспользуемся формулой понижения степени для квадрата косинуса {{\cos }^{2}}\alpha =\frac{1}{2}\cdot \left( 1+\cos 2\alpha  \right), получим:

    \[{{\cos }^{2}}4x=\frac{1+\cos 2\cdot 4x}{2}=\frac{1+\cos 8x}{2}\]

2) Применим формулы понижения степени для синуса {{\sin }^{2}}\alpha =\frac{1}{2}\cdot \left( 1-\cos 2\alpha  \right)

    \[{{\sin }^{2}}3x=\frac{1-\cos 2\cdot 3x}{2}=\frac{1-\cos 6x}{2}\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Вычислить, используя формулы понижения степени

1) \text{ } {{\sin }^{2}}\frac{\pi }{8}

2) \text{ } {{\cos }^{2}}\frac{\pi }{12}

Решение 1) Понизим степень синуса, используя формулу {{\sin }^{2}}\alpha =\frac{1}{2}\cdot \left( 1-\cos 2\alpha  \right), получим

    \[{{\sin }^{2}}\frac{\pi }{8}=\frac{1}{2}\cdot \left( 1-\cos 2\cdot \frac{\pi }{8} \right)=\frac{1}{2}\cdot \left( 1-\cos 2\cdot \frac{\pi }{8} \right)=\frac{1}{2}\cdot \left( 1-\cos \frac{\pi }{4} \right) \]

Учитывая, что \cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}, окончательно имеем:

    \[{{\sin }^{2}}\frac{\pi }{8}=\frac{1}{2}\cdot \left( 1-\cos \frac{\pi }{4} \right)=\frac{1}{2}\cdot \left( 1-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)=\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{2-\sqrt{2}}{2} \right)=\frac{2-\sqrt{2}}{4}\]

2) Применим к исходному выражению формулу понижения степени {{\cos }^{2}}\alpha =\frac{1}{2}\cdot \left( 1+\cos 2\alpha  \right), получим:

    \[{{\cos }^{2}}\frac{\pi }{12}=\frac{1}{2}\cdot \left( 1+\cos 2\cdot \frac{\pi }{12} \right)=\frac{1}{2}\cdot \left( 1+\cos \frac{\pi }{6} \right)\]

Так как \cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}, то окончательно

    \[{{\cos }^{2}}\frac{\pi }{12}=\frac{1}{2}\cdot \left( 1+\cos \frac{\pi }{6} \right)=\frac{1}{2}\cdot \left( 1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{2+\sqrt{3}}{2} \right)=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\]

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Доказать тождество 2{{\sin }^{2}}\frac{\alpha }{2}+\cos \alpha =1
Решение По формуле понижения степени {{\sin }^{2}}\alpha =\frac{1}{2}\cdot \left( 1-\cos 2\alpha  \right):

    \[{{\sin }^{2}}\frac{\alpha }{2}=\frac{1}{2}\left( 1-\cos 2\cdot \frac{\alpha }{2} \right)\quad \Rightarrow \quad {{\sin }^{2}}\frac{\alpha }{2}=\frac{1}{2}\left( 1-\cos \alpha  \right)\quad \Rightarrow \quad 2{{\sin }^{2}}\frac{\alpha }{2}=1-\cos \alpha \]

Подставим полученное выражение в исходное тождество

    \[1-\cos \alpha +\cos \alpha =1\quad \Rightarrow \quad 1=1\]

Что и требовалось доказать.