Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Свойства матриц

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Матрицей A=\left( \begin{matrix}    a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}  \\    a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}  \\    ... & ... & ... & ...  \\    a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}  \\ \end{matrix} \right) называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Она имеет размер m\times n и обозначается {{A}_{m\times n}}.

Элементы матрицы А обозначают буквами с двумя индексами, первый из которых указывает номер строки, в которой стоит элемент, а второй – номер столбца.

Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковый размер и их соответствующие элементы равны, т.е.

    \[{{A}_{m\times n}}={{B}_{k\times p}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    m=k\,,  \\    n=p\,,  \\    a_{ij}=b_{ij}\,,\,\,\,i=\overline{1,m},\,\,j=\overline{1,n}\,.  \\ \end{array} \right.\]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если m=n, то матрица называется квадратной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы равны нулю, кроме находящихся на главной диагонали.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Единичные матрицы – диагональная матрица, в которой все элементы, находящиеся на главной диагонали, равны 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

Суммой двух матриц А и В одинакового размера m\times n называется матрица С того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых, т.е. если {{A}_{m\times n}}=\left( a_{ij} \right) и {{B}_{m\times n}}=\left( b_{ij} \right), то

    \[{{C}_{m\times n}}={{A}_{m\times n}}+{{B}_{m\times n}}=\left( a_{ij}+b_{ij} \right)\]

где i=\overline{1,m}, \quad j=\overline{1,n}

Произведением матрицы {{A}_{m\times n}}=\left( a_{ij} \right) на число k\in R называется матрица того же размера {{B}_{m\times n}}=\left( b_{ij} \right), каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента матрицы A на число k, т.е.

    \[b_{ij}=k\cdot a_{ij}\]

где i=\overline{1,m}, \quad j=\overline{1,n}

Свойства линейных операций над матрицами

  1. A+B=B+A – коммутативность (переместительный закон) сложения;
  2. A+\left( B+C \right)=\left( A+B \right)+C – ассоциативность (сочетательный закон) сложения;
  3. для любой матрицы А существует единственная нулевая матрица \theta такая, что A+\theta =A;
  4. для любой матрицы А существует единственная матрица \left( -A \right)=-1\cdot A, называемая противоположной, такая что A+\left( -A \right)=\theta, где \theta – нулевая матрица;
  5. 1\cdot A=A;
  6. \alpha \cdot \left( \beta A \right)=\left( \alpha \beta  \right)\cdot A;
  7. \left( \alpha +\beta  \right)\cdot A=\alpha A+\beta A;
  8. \alpha \cdot \left( A+B \right)=\alpha A+\alpha B.
ПРИМЕР
Задание Для матриц A и B найти 2A+3B.

    \[ A=\left( \begin{matrix}    1 & 2  \\    -1 & 7  \\ \end{matrix} \right), \quad B=\left( \begin{matrix}    0 & 4  \\    3 & -2  \\ \end{matrix} \right) \]

Решение Найдем матрицы 2A и 3B:

    \[2A=2\cdot \left( \begin{matrix}    1 & 2  \\    -1 & 7  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}    2 & 4  \\    -2 & 14  \\ \end{matrix} \right)\]

    \[3B=3\cdot \left( \begin{matrix}    0 & 4  \\    3 & -2  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}    0 & 12  \\    9 & -6  \\ \end{matrix} \right)\]

Далее найдем их сумму

    \[2A+3B=\left( \begin{matrix}    2 & 4  \\    -2 & 14  \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}    0 & 12  \\    9 & -6  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}    2 & 16  \\    7 & 8  \\ \end{matrix} \right)\]

Ответ

Произведением матрицы А размера m\times n на матрицу В размера n\times k называется матрица C=AB размера m\times k, элемент c_{ij} которой, стоящий в i-й строке и в j-м столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы В:

    \[c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+a_{i2}\cdot b_{2j}+...+a_{in}\cdot b_{nk}=\sum\limits_{p=1}^{n}{a_{ip}b_{pk}}\]

Замечание. Для матриц А и В произведение определено, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Свойства операции умножения матриц

A,\,B,\,C – матрицы, \alpha ,\,\beta \in R

  1. A\cdot \left( B\cdot C \right)=\left( A\cdot B \right)\cdot C – ассоциативность умножения;
  2. \alpha \cdot \left( A\cdot B \right)=\left( \alpha A \right)B;
  3. \left( A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C;
  4. A\cdot \left( B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C;
  5. Если матрица A имеет размер m\times n, то равенство {{E}_{m}}A=A{{E}_{n}}=A справедливо, только если {{E}_{m}},\,\,{{E}_{n}}единичные матрицы m-го и n-го порядка.
ПРИМЕР 2
Задание Найти произведение матриц

    \[A=\left( \begin{matrix} 				   -1 & 2  \\ 				   0 & 4  \\ 				\end{matrix} \right), \quad B=\left( \begin{matrix} 				   1 & 2 & -1  \\ 				   0 & 2 & -3  \\ 				\end{matrix} \right)\]

Решение Матрица A имеет размеры 2\times 2, а матрица B размеры 2\times 3, т.е количество столбцов первой матрицы совпадает с количеством столбцов второй матрицы, значит их можно умножать. В результате умножения получится матрица C размерами 2\times 3:

    \[{{A}_{2\times 2}}{{B}_{2\times 3}}={{C}_{2\times 3}}\]

    \[\begin{matrix}   {{C}_{2\times 3}}=\left( \begin{matrix}    -1 & 2  \\    0 & 4  \\ \end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix}    1 & 2 & -1  \\    0 & 2 & -3  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}    -1\cdot 1+2\cdot 0 & -1\cdot 2+2\cdot 2 & -1\cdot \left( -1 \right)+2\cdot (-3)  \\    0\cdot 1+4\cdot 0 & 0\cdot 2+4\cdot 2 & 0\cdot \left( -1 \right)+4\cdot (-3)  \\ \end{matrix} \right)= \\    =\left( \begin{matrix}    -1 & 2 & -5  \\    0 & 8 & -12  \\ \end{matrix} \right) \\  \end{matrix}\]

Ответ

Матрица {{A}^{t}} размера n\times mназывается транспонированной к матрице A размера m\times n, если в ней на месте \left( i,\,j \right) стоит элемент a_{ji} матрицы A, или, иначе, матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером. Таким образом, если

    \[A=\left( \begin{matrix}    a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}  \\    a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}  \\    ... & ... & ... & ...  \\    a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}  \\ \end{matrix} \right)\]

то

    \[{{A}^{t}}=\left( \begin{matrix}    a_{11} & a_{21} & ... & a_{m1}  \\    a_{12} & a_{22} & ... & a_{m2}  \\    ... & ... & ... & ...  \\    a_{1n} & a_{2n} & ... & a_{mn}  \\ \end{matrix} \right)\]

Свойства операции транспонирования матриц

A,\,B – матрицы, \alpha \in R):

  1. {{\left( {{A}^{t}} \right)}^{\,t}}=A;
  2. {{\left( A+B \right)}^{t}}={{A}^{t}}+{{B}^{t}};
  3. {{\left( AB \right)}^{t}}={{B}^{t}}{{A}^{t}};
  4. {{\left( \alpha A \right)}^{t}}=\alpha {{A}^{t}}.