Свойства матриц

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Матрицей $A=\left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right)$ называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из $m$ строк и $n$ столбцов.

Она имеет размер $m\times n$ и обозначается ${{A}_{m\times n}}$ .

Элементы матрицы А обозначают буквами с двумя индексами, первый из которых указывает номер строки, в которой стоит элемент, а второй – номер столбца.

Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковый размер и их соответствующие элементы равны, т.е.

${{A}_{m\times n}}={{B}_{k\times p}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} m=k\,, \\ n=p\,, \\ a_{ij}=b_{ij}\,,\,\,\,i=\overline{1,m},\,\,j=\overline{1,n}\,. \\ \end{array} \right.$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если $m=n$ , то матрица называется квадратной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы равны нулю, кроме находящихся на главной диагонали.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Единичные матрицы – диагональная матрица, в которой все элементы, находящиеся на главной диагонали, равны 1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

Суммой двух матриц А и В одинакового размера $m\times n$ называется матрица С того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых, т.е. если ${{A}_{m\times n}}=\left( a_{ij} \right)$ и ${{B}_{m\times n}}=\left( b_{ij} \right)$ , то

${{C}_{m\times n}}={{A}_{m\times n}}+{{B}_{m\times n}}=\left( a_{ij}+b_{ij} \right)$

где $i=\overline{1,m}, \quad j=\overline{1,n}$

Произведением матрицы ${{A}_{m\times n}}=\left( a_{ij} \right)$ на число $k\in R$ называется матрица того же размера ${{B}_{m\times n}}=\left( b_{ij} \right)$ , каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента матрицы $A$ на число $k$ , т.е.

$b_{ij}=k\cdot a_{ij}$

где $i=\overline{1,m}, \quad j=\overline{1,n}$

Свойства линейных операций над матрицами

$A+B=B+A$ – коммутативность (переместительный закон) сложения;
$A+\left( B+C \right)=\left( A+B \right)+C$ – ассоциативность (сочетательный закон) сложения;
для любой матрицы А существует единственная нулевая матрица $\theta$ такая, что $A+\theta =A$ ;
для любой матрицы А существует единственная матрица $\left( -A \right)=-1\cdot A$ , называемая противоположной, такая что $A+\left( -A \right)=\theta$ , где $\theta$ – нулевая матрица;
$1\cdot A=A$ ;
$\alpha \cdot \left( \beta A \right)=\left( \alpha \beta \right)\cdot A$ ;
$\left( \alpha +\beta \right)\cdot A=\alpha A+\beta A$ ;
$\alpha \cdot \left( A+B \right)=\alpha A+\alpha B$ .

ПРИМЕР

Задание

Для матриц $A$ и $B$ найти $2A+3B$ .

$A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ -1 & 7 \\ \end{matrix} \right), \quad B=\left( \begin{matrix} 0 & 4 \\ 3 & -2 \\ \end{matrix} \right)$

Решение

Найдем матрицы $2A$ и $3B$ :

$2A=2\cdot \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ -1 & 7 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 2 & 4 \\ -2 & 14 \\ \end{matrix} \right)$

$3B=3\cdot \left( \begin{matrix} 0 & 4 \\ 3 & -2 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 0 & 12 \\ 9 & -6 \\ \end{matrix} \right)$

Далее найдем их сумму

$2A+3B=\left( \begin{matrix} 2 & 4 \\ -2 & 14 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 0 & 12 \\ 9 & -6 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 2 & 16 \\ 7 & 8 \\ \end{matrix} \right)$

Ответ

Произведением матрицы А размера $m\times n$ на матрицу В размера $n\times k$ называется матрица $C=AB$ размера $m\times k$ , элемент $c_{ij}$ которой, стоящий в $i$ -й строке и в $j$ -м столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов $i$ -й строки матрицы A и $j$ -го столбца матрицы В:

$c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+a_{i2}\cdot b_{2j}+...+a_{in}\cdot b_{nk}=\sum\limits_{p=1}^{n}{a_{ip}b_{pk}}$

Замечание. Для матриц А и В произведение определено, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Свойства операции умножения матриц

$A,\,B,\,C$ – матрицы, $\alpha ,\,\beta \in R$

$A\cdot \left( B\cdot C \right)=\left( A\cdot B \right)\cdot C$ – ассоциативность умножения;
$\alpha \cdot \left( A\cdot B \right)=\left( \alpha A \right)B$ ;
$\left( A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$ ;
$A\cdot \left( B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ ;
Если матрица $A$ имеет размер $m\times n$ , то равенство ${{E}_{m}}A=A{{E}_{n}}=A$ справедливо, только если ${{E}_{m}},\,\,{{E}_{n}}$ – единичные матрицы $m$ -го и $n$ -го порядка.

ПРИМЕР 2

Задание

Найти произведение матриц

$A=\left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 0 & 4 \\ \end{matrix} \right), \quad B=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & -3 \\ \end{matrix} \right)$

Решение

Матрица $A$ имеет размеры $2\times 2$ , а матрица $B$ размеры $2\times 3$ , т.е количество столбцов первой матрицы совпадает с количеством столбцов второй матрицы, значит их можно умножать. В результате умножения получится матрица $C$ размерами $2\times 3$ :

${{A}_{2\times 2}}{{B}_{2\times 3}}={{C}_{2\times 3}}$

$\begin{matrix} {{C}_{2\times 3}}=\left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 0 & 4 \\ \end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & -3 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -1\cdot 1+2\cdot 0 & -1\cdot 2+2\cdot 2 & -1\cdot \left( -1 \right)+2\cdot (-3) \\ 0\cdot 1+4\cdot 0 & 0\cdot 2+4\cdot 2 & 0\cdot \left( -1 \right)+4\cdot (-3) \\ \end{matrix} \right)= \\ =\left( \begin{matrix} -1 & 2 & -5 \\ 0 & 8 & -12 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{matrix}$

Ответ

Матрица ${{A}^{t}}$ размера $n\times m$ называется транспонированной к матрице $A$ размера $m\times n$ , если в ней на месте $\left( i,\,j \right)$ стоит элемент $a_{ji}$ матрицы $A$ , или, иначе, матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером. Таким образом, если

$A=\left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right)$

то

${{A}^{t}}=\left( \begin{matrix} a_{11} & a_{21} & ... & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & ... & a_{m2} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{1n} & a_{2n} & ... & a_{mn} \\ \end{matrix} \right)$

Свойства операции транспонирования матриц

$A,\,B$ – матрицы, $\alpha \in R$ ):

${{\left( {{A}^{t}} \right)}^{\,t}}=A$ ;
${{\left( A+B \right)}^{t}}={{A}^{t}}+{{B}^{t}}$ ;
${{\left( AB \right)}^{t}}={{B}^{t}}{{A}^{t}}$ ;
${{\left( \alpha A \right)}^{t}}=\alpha {{A}^{t}}$ .

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Свойства матриц

Свойства линейных операций над матрицами

Свойства операции умножения матриц

Свойства операции транспонирования матриц