Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Умножение матриц

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Произведением матрицы A=\left\| {{a}_{ij}} \right\| , ( i=\overline{1,m};\ j=\overline{1,n}) размером  m\times n на матрицу B=\left\| {{b}_{ij}} \right\| , ( i=\overline{1,n};\ j=\overline{1,k}) размером  n\times k называется матрица C=\left\| {{c}_{ij}} \right\| , (i=\overline{1,m};\ j=\overline{1,k}) размером m\times k , элементы которой определяются формулой:

    \[{{c}_{ij}}={{a}_{i1}}{{b}_{1j}}+{{a}_{i2}}{{b}_{2j}}+\ldots +{{a}_{in}}{{b}_{nj}}=\sum\limits_{s=1}^{n}{{{a}_{sn}}{{b}_{sj}}}\]

Иначе говоря, элемент {{c}_{ij}} матрицы C=A\cdot B , стоящий в i-той строке и j-том столбце, равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B . Таким образом, умножение осуществляется по правилу умножения строки на столбец.

Не всякие две матрицы можно перемножить. Произведение A\cdot B двух матриц возможно только в том случае, если число столбцов матрицы A совпадает с числом строк в матрице B . Для того чтобы перемножить две квадратные матрицы необходимо, чтобы они были одного порядка. При этом в результате получится матрица того же порядка, что и перемножаемые матрицы.

Как умножать матрицы, примеры

ПРИМЕР 1
Задание Найти произведение матрицы A и вектора-столбца B .

    \[ A=\left( \begin{matrix}  2 \\  1 \\ \end{matrix}\quad \begin{matrix}  0 \\  -1 \\ \end{matrix}\quad \begin{matrix}  4 \\  1 \\ \end{matrix}\quad \begin{matrix}  -1 \\  0 \\ \end{matrix} \right) \text{ }\text{ },\text{ }\text{ } B=\left( \begin{matrix}  2 \\  1 \\  0 \\  -2 \\ \end{matrix} \right) \]

Решение Матрица A имеет размерность 2\times 4 , матрица B имеет размерность 4\times 1 , значит размерность произведения A \cdot B будет 2\times 1 . Действительно,

    \[A \cdot B=\left( \begin{matrix}  2 \\  1 \\ \end{matrix}\quad \begin{matrix}  0 \\  -1 \\ \end{matrix}\quad \begin{matrix}  4 \\  1 \\ \end{matrix}\quad \begin{matrix}  -1 \\  0 \\ \end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix}  2 \\  1 \\  0 \\  -2 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}  2\cdot 2+0\cdot 1+4\cdot 0+\left( -1 \right)\cdot \left( -2 \right) \\  1\cdot 2+\left( -1 \right)\cdot 1+1\cdot 0+0\cdot \left( -2 \right) \\ \end{matrix} \right)=\]

    \[=\left( \begin{matrix}  4+0+0+2 \\  2-1+0+0 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}  6 \\  1 \\ \end{matrix} \right)\]

Заметим, что произведение этих матриц в обратном порядке B \cdot A невозможно.

Ответ

Произведение двух матриц в общем случае зависит от порядка сомножителей, то есть оно не коммутативно:

    \[A \cdot B \ne B \cdot A \]

ПРИМЕР 2
Задание Заданы матрицы A и B . Найти их произведения A \cdot B и A \cdot B .

    \[A =\left( \begin{matrix}  \begin{matrix}  -1 & 1 \\ \end{matrix} \\  \begin{matrix}  2 & 0 \\ \end{matrix} \\  \begin{matrix}  0 & 3 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right) \text{ }\text{ },\text{ }\text{ } B=\left( \begin{matrix}  \begin{matrix}  3 \\  0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix}  1 \\  -1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix}  2 \\  4 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right) \]

Решение Матрица A имеет размерность 3\times 2 , а матрица B – размерность 2\times 3 , тогда размерность произведения A \cdot B , будет 3\times 3 . Действительно, умножая по принципу, строка первой матрицы на столбец второй, получим

    \[ A \cdot B =\left( \begin{matrix}  \begin{matrix}  -1 & 1 \\ \end{matrix} \\  \begin{matrix}  2 & 0 \\ \end{matrix} \\  \begin{matrix}  0 & 3 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}  \begin{matrix}  3 \\  0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix}  1 \\  -1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix}  2 \\  4 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}  -1\cdot 3+1\cdot 0 & -1\cdot 1+1\cdot \left( -1 \right) & -1\cdot 2+1\cdot 4 \\  2\cdot 3+0\cdot 0 & 2\cdot 1+0\cdot \left( -1 \right) & 2\cdot 2+0\cdot 4 \\  0\cdot 3+3\cdot 0 & 0\cdot 1+3\cdot \left( -1 \right) & 0\cdot 2+3\cdot 4 \\ \end{matrix} \right)=\]

    \[=\left( \begin{matrix}  -3 & -2 & 2 \\  6 & 2 & 4 \\  0 & -3 & 12 \\ \end{matrix} \right)\]

Произведение A\cdot B так же будет существовать и его размерность будет 2\times 2 .

    \[ B \cdot A =\left( \begin{matrix}  \begin{matrix}  3 \\  0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix}  1 \\  -1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix}  2 \\  4 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}  \begin{matrix}  -1 & 1 \\ \end{matrix} \\  \begin{matrix}  2 & 0 \\ \end{matrix} \\  \begin{matrix}  0 & 3 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}  3\cdot \left( -1 \right)+1\cdot 2+2\cdot 0 & 3\cdot 1+1\cdot 0+2\cdot 3 \\  0\cdot \left( -1 \right)+\left( -1 \right)\cdot 2+4\cdot 0 & 0\cdot 1+\left( -1 \right)\cdot 0+4\cdot 3 \\ \end{matrix} \right)=\]

    \[=\left( \begin{matrix}  -1 & 9 \\  -2 & 12 \\ \end{matrix} \right)\]

Ответ

Но бывают матрицы, для которых выполняется равенство

    \[ A \cdot B = B \cdot A\]

такие матрицы называются перестановочными или коммутирующими. Такие матрицы будут обязательно квадратными.

ПРИМЕР 3
Задание Проверить являются ли перестановочными матрицы A и B, если

    \[A=\left( \begin{matrix}  1 & -2 \\  2 & 0 \\ \end{matrix} \right) \text{ }\text{ },\text{ }\text{ } B=\left( \begin{matrix}  -3 & -2 \\  2 & -4 \\ \end{matrix} \right) \]

Решение Найдем произведения этих матриц A \cdot B и A\cdot B .

    \[ A \cdot B =\left( \begin{matrix}  1 & -2 \\  2 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}  -3 & -2 \\  2 & -4 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}  1\cdot \left( -3 \right)+\left( -2 \right)\cdot 2 & 1\cdot \left( -2 \right)+\left( -2 \right)\cdot \left( -4 \right) \\  2\cdot \left( -3 \right)+0\cdot 2 & 2\cdot \left( -2 \right)+0\cdot \left( -4 \right) \\ \end{matrix} \right)=\]

    \[=\left( \begin{matrix}  -7 & 6 \\  -6 & -4 \\ \end{matrix} \right)\]

    \[B \cdot A =\left( \begin{matrix}  -3 & -2 \\  2 & -4 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}  1 & -2 \\  2 & 0 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}  \left( -3 \right)\cdot 1+\left( -2 \right)\cdot \left( -2 \right) & \left( -3 \right)\cdot \left( -2 \right)+\left( -2 \right)\cdot 0 \\  2\cdot 1+\left( -4 \right)\cdot 2 & 2\cdot \left( -2 \right)+\left( -4 \right)\cdot 0 \\ \end{matrix} \right)=\]

    \[=\left( \begin{matrix}  -7 & 6 \\  -6 & -4 \\ \end{matrix} \right)\]

Таким образом, для заданных матриц выполняется равенство A \cdot B =B \cdot A , поэтому они являются перестановочными.

Ответ Матрицы A и B перестановочные.