Свойства описанной окружности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Описанная окружность около многоугольника – это окружность, содержащая все вершины многоугольника.

Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность и только одну.

Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Площадь многоугольника будет максимальной, если он вписан в окружность.

Свойства окружности, описанной около треугольника

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
Радиус $R$ окружности, описанной около треугольника, равен отношению произведения сторон $a,b,c$ треугольника к его учетверенной площади:
$R=\frac{abc}{4S}$
Радиус окружности, описанной около треугольника, равен отношению стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла
$R=\frac{AB}{2\sin \angle C}=\frac{AC}{2\sin \angle B}=\frac{BC}{2\sin \angle A}$

Свойства окружности, описанной около четырехугольника

Вокруг четырехугольника можно описать окружность, если суммы его противоположных углов равны ${{180}^{\circ}}$ .
Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.
Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, можно вычислить по формуле Брахмагупты:
$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Вокруг прямоугольного треугольника $ABC$ с катетами $AB=3$ см и $AC=4$ см описана окружность. Найти ее радиус.

Решение

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а значит, ее радиус равен половине гипотенузы. Воспользуемся теоремой Пифагора и найдем длину гипотенузы:

$BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{9+16}=5 \ cm$

Тогда $R=\frac{1}{2}BC=2,5$ см.

Ответ

$R=2,5$ см.

ПРИМЕР 2

Задание

Вокруг четырехугольника $ABCD$ описана окружность. Угол $A$ меньше угла $B$ в 2 раза, а угол $C$ больше угла $D$ в три раза. Найти углы четырехугольника.

Решение

Введем обозначения: пусть $\angle A=x$ , тогда $\angle B=2x$ и $\angle D=y$ , тогда $\angle C=3y$ . Так как четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна ${{180}^{\circ}}$ :

$\begin{cases} & x+3y=180, \\ & 2x+y=180. \\ \end{cases}$

Решив эту систему, получим $x=72, \quad y=36$ . Следовательно,

$\angle A={{72}^{\circ}},\ \angle B=2\cdot {{72}^{\circ}}={{144}^{\circ}},\ \angle D={{36}^{\circ}},\ \text{a}\ \angle C=3\cdot {{36}^{\circ}}={{108}^{\circ}}$

Ответ

$\angle A={{72}^{\circ}},\ \angle B={{144}^{\circ}}, \ \angle C={{108}^{\circ}}, \ \angle D={{36}^{\circ}}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Свойства описанной окружности

Свойства окружности, описанной около треугольника

Свойства окружности, описанной около четырехугольника

Примеры решения задач