Свойства четырехугольника

Рис. 1

Рис. 2

Четырехугольники бывают выпуклые (если они расположены в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит одну из его сторон) (рис. 1) и невыпуклые (рис. 2).

Основные виды четырехугольников: параллелограмм, прямоугольник, квадрат, ромб, трапеция.

Свойства четырехугольников

1. Сумма углов четырехугольника равна .
2. Четырехугольник можно вписать в окружность, если суммы его противоположных углов равны .
3. Четырехугольник можно описать вокруг окружности, если суммы длин его противоположных сторон равны: .
4. Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон:

      

5. Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей.
6. Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	В четырехугольник вписана окружность. Его стороны , , . Найти .
Решение	Так как в заданный четырехугольник вписана окружность, то суммы его противоположных сторон равны, то есть     или     Значит
Ответ	см

ПРИМЕР 2

Задание	Четырехугольник со сторонами , , и вписан в окружность, а его диагонали пересекаются под углом . Найти площадь четырехугольника.
Решение	Так как четырехугольник вписан в окружность, то его стороны и диагонали связаны соотношением . Следовательно,     Площадь четырехугольника вычислим по формуле
Ответ	см