Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Свойства касательных к окружности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Касательной называется прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Свойства касательной к окружности

  1. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания:

        \[AC\bot OA\]

  2. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны: AC=BC.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Из точки C к окружности проведены две касательные, касающиеся ее в точках A и B. Угол AOB равен {{105}^{\circ}}. Найти угол ACB.
Решение Рассмотрим образовавшийся четырехугольник ACBO, в котором \angle A=\angle B={{90}^{\circ}} (т.к. OA и OB – радиусы, проведенные в точку касания). Сумма углов любого четырехугольника равна {{360}^{\circ}}, поэтому

    \[\angle C={{360}^{\circ}}-\angle A-\angle B-\angle O={{360}^{\circ}}-{{90}^{\circ}}-{{90}^{\circ}}-{{105}^{\circ}}={{75}^{\circ }}\]

Ответ \angle C={{75}^{\circ}}
ПРИМЕР 2
Задание Хорда AC стягивает дугу окружности в {{80}^{\circ}}. В точке A проведена касательная к этой окружности. Найти величину угла между касательной и хордой.
Решение Хорда AC стягивает дугу окружности в {{80}^{\circ}}, значит центральный угол, который на нее опирается \angle AOC={{80}^{\circ}}. Треугольник AOC – равнобедренный (т.к. OA и OC – радиусы окружности), а значит

    \[\angle OAC=\angle OCA=\frac{{{180}^{\circ}}-{{80}^{\circ}}}{2}={{50}^{\circ}}\]

Радиус OA образует с касательной прямой угол (по свойству касательной), следовательно,

    \[\angle CAB={{180}^{\circ}}-{{90}^{\circ}}-{{50}^{\circ}}={{40}^{\circ}}\]

Ответ \angle CAB={{40}^{\circ}}