Свойства вписанных углов в окружность

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Вписанный углом в окружность называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

На рисунке таким углом является $\angle BAC$ .

Свойства вписанных углов

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:
$\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BOC$
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90°.
Любая пара вписанных углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

В окружности провели хорду $AB$ . По разные стороны от нее взяли точки $C$ и $D$ , и соединили их с концами хорды. Образовавшийся угол $ACB$ больше угла $ADB$ в два раза. Найти эти углы.

Решение

Рассмотрим углы $ACB$ и $ADB$ . Они опираются на одну хорду, но лежат по разные стороны от нее, значит, их сумма равна 180°. Пусть $\angle ADB=x$ , тогда $\angle ACB=2x$ , а их сумма

$x+2x=180$