Свойства четырехугольника, вписанного в окружность

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если все вершины четырехугольника лежат на одной окружности, то он называется вписанным четырехугольником.

ТЕОРЕМА

Четырехугольник можно вписать в окружность, если суммы его противоположных углов равны ${{180}^{\circ}}$ .

Свойства вписанного четырехугольника

Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.
Серединные перпендикуляры к сторонам четырехугольника пересекаются в центре описанной окружности.
Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, можно вычислить по формуле Брахмагупты:
$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	В четырехугольнике $ABCD$ , вписанном в окружность $\angle A={{64}^{\circ}}$ , $\angle B={{125}^{\circ}}$ . Найти остальные углы четырехугольника.
Решение	Так как четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, то $\angle A+\angle C ={{180}^{\circ}}$ , следовательно, $\angle C ={{180}^{\circ}}-{{64}^{\circ}}={{116}^{\circ}}$ . Аналогично, $\angle B+\angle D={{180}^{\circ}}$ и тогда $\angle D={{180}^{\circ}}-{{125}^{\circ}}={{55}^{\circ}}$ .
Ответ	$\angle C={{116}^{\circ}}$ , $\angle D={{55}^{\circ}}$

ПРИМЕР 2

Задание

Известно, что вокруг четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность, а его углы $A$ , $B$ и $C$ относятся как 1:4:5. Найдите угол $D$ .

Решение

Пусть $x$ – коэффициент пропорциональности. Тогда величины углов $A$ , $B$ и $C$ можно записать в таком виде: $A=x$ , $B=4x$ и $C=5x$ . Так как четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна ${{180}^{\circ}}$ , т.е.

$\angle A+\angle C=x+5x={{180}^{\circ}}$

Отсюда $x={{30}^{\circ}}$ . Тогда $\angle D={{180}^{\circ}}-\angle B=180-4\cdot {{30}^{\circ}}={{60}^{\circ}}$ .

Ответ

$\angle D={{60}^{\circ}}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Свойства четырехугольника, вписанного в окружность

Свойства вписанного четырехугольника

Примеры решения задач