Свойства углов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Углом называется геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Обозначают угол тремя буквами: $\angle AOB$ , где $O$ – вершина угла, $OA,\ OB$ – стороны угла.

Величиной измерения угла является градус.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Углы бывают острые (если их градусная мера меньше $90^{\circ}$ ), прямые (если их градусная мера равна $90^{\circ}$ ) и тупые (если их градусная мера больше $90^{\circ}$ ).

Развернутый угол – это угол $180^{\circ}$ .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Смежные углы – это углы, у которых одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются

– накрест лежащие углы: $\angle 2=\angle 3$ ;

– соответственные углы: $\angle 2=\angle 5$ ;

– односторонние углы: $\angle 1+\angle 2=180^{\circ}$ .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Вписанный углом в окружность называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ}$ . Сумма углов любого n-угольника равна $(n-2)\cdot 180^{\circ}$ .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла и делит данный угол пополам.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Найти величину угла $\alpha$ , если смежный с ним угол больше данного на $50^{\circ}$ .

Решение

Обозначим угол $\alpha$ через $x$ , тогда смежный с ним угол равен $x+50^{\circ}$ . Так как сумма смежных углов равна $180^{\circ}$ , то можно записать

$x+x+50^{\circ}=180^{\circ}$

откуда $x=65^{\circ}$ . Получили, что $\alpha =65^{\circ}$ .

Ответ

$\alpha =65^{\circ}$

ПРИМЕР 2

Задание

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ провели биссектрису $AB$ . Угол $ABK$ равен $40^{\circ}$ . Найти все углы треугольника $ABC$ .

Решение

Биссектриса $BK$ делит угол $ABC$ пополам, значит $\angle ABC=2\cdot \angle ABK=2\cdot 40^{\circ}=80^{\circ}$ .

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC=\angle BCA$ . Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ}$ , следовательно

$\angle BAC+\angle BCA=180^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ}$

откуда $\angle BAC=\angle BCA=\frac{100^{\circ}}{2}=50^{\circ}$ .

Ответ

$\angle ABC=80^{\circ},\ \angle BAC=\angle BCA=50^{\circ}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Свойства углов

Примеры решения задач