Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Главная Справочник Свойства Свойства числовых неравенств

Свойства числовых неравенств

Для любых двух действительных чисел $a,b$ имеет место одно из трех соотношений: $a < b, \ a=b, \ a > b$

Такие соотношения называются числовыми неравенствами. Запись $a < b$ означает, что разность $a-b$ отрицательная, а запись $a > b$ , что разность $a-b$ – положительная.

Неравенства отношений $>, <$ называют строгими, неравенства $\ge , \ \le$ называют нестрогими.

Свойства числовых неравенств

Если $a > b$ , то $b < a$ . Если $a < b$ , то $b > a$ .
Если $a < b$ и $b < c$ , то $a < c$ .
Если $a < b$ , то для любого числа c имеет место неравенство
$a + c < b + c$
Если $a < b$ , то $ac < bc$ , если $c$ – некоторое положительное число.
Если $a < b$ , то $ac > bc$ , если $c$ – отрицательное число.
Неравенства одинакового знака можно почленно складывать:
$a < b$ и $c < d$ , то $a + c < b + d$ .
Неравенства разных знаков можно почленно вычитать:
если $a > b$ и $c < d$ , то $a - c > b - d$ .
Если $a < b$ и $c < d$ , то $ac < bd$ , где $a, b, c, d$ – положительные числа.
Обе части неравенства с положительными членами можно возводить в одну и ту же натуральную степень:
если $a > b$ , то ${{a}^{n}}>{{b}^{n}}$ , для положительных чисел $a,b$ .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Известно, что $32<a<54$ . Оценить число $3a-12$

Решение

Оценим сначала число $3a$ . Так как $3>0$ , то

$3\cdot 32<3a<3\cdot 54\Leftrightarrow 96<3a<162$

Далее отнимем от каждой части неравенства число 12:

$96-12<3a-12<162-12$

или

$84<3a-12<150$

Ответ

$84<3a-12<150$

ПРИМЕР 2

Задание

Известно, что $3,7<a<6,8, \quad 2,5<b<8,3$ . Оценить разность $2a-5b$

Решение

Сначала оценим числа $2a$ и $-5b$ :

$3,7\cdot 2<2a<6,8\cdot 2\ \Rightarrow \ 7,4<2a<13,6$

и

$2,5\cdot (-5)>-5b>8,3\cdot (-5)\ \Rightarrow \ -41,5<-5b<-12,5$

Теперь найдем сумму $2a+(-5b)$ :

$7,4+(-41,5)<2a+(-5b)<13,6+(-12,5)$

$-34,1<2a-5b<1,1$

Ответ

$-34,1<2a-5b<1,1$

Читайте также:

Свойства параллельных прямых

Свойства описанной окружности

Свойства вписанной окружности

Свойства касательных к окружности

Свойства вписанных углов в окружность

Свойства векторов

© SolverBook - онлайн сервисы для учебы, 2015

Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения
администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.

Почта для связи: info@ru.solverbook.com

Выберите язык:

Сервисы

SolverBook