Свойства векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Вектором называется направленный отрезок, который обозначают $A\bar{B}$ (начало в точке А, конец в точке В) или $\bar{a}$ .

Если концы вектора заданы своими координатами в пространстве $A=(a_{1},a_{2},a_{3}),\ B=(b_{1},b_{2},b_{3})$ , то координаты вектора

$A\bar{B}=(b_{1}-a_{1},b_{2}-a_{2},b_{3}-a_{3})$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Модулем (длиной) вектора $\bar{c}=(c_{1},c_{2},c_{3})$ называется число, равное расстоянию от начала до конца вектора, оно вычисляется по формуле:

$\bar{c}=\sqrt{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}}$

Вектор называется единичным, если его длина равна единице. Вектор называется нулевым, если его длина равна нулю.

Векторы $\bar{a}$ и $\bar{b}$ называются коллинеарными, если они или лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Суммой векторов $\bar{a}$ и $\bar{b}$ (конец вектора $\bar{a}$ совпадает с началом $\bar{b}$ ) называется вектор $\bar{c}$ , начало которого совпадает с началом вектора $\bar{a}$ , а конец – с концом вектора $\bar{b}$ . Графически это выглядит так, как показано на рисунке (правило треугольника)

Операция сложения векторов обладает такими свойствами

$\bar{a}+\bar{b}=\bar{b}+\bar{a}$
$(\bar{a}+\bar{b})+\bar{c}=a+(\bar{b}+\bar{c})$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Разностью векторов $\bar{a}$ и $\bar{b}$ называется такой вектор $\bar{c}$ , который в сумме с вектором $\bar{b}$ дает вектор $\bar{a}$ .

Если векторы $\bar{a}=(a_{1},a_{2},a_{3})$ и $\bar{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})$ заданы своими координатами, то сумма/разность этих векторов

$\bar{a}\pm \bar{b}=(a_{1}\pm b_{1},a_{2}\pm b_{2},a_{3}\pm b_{3})$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Произведением вектора $\bar{a}=(a_{1},a_{2},a_{3})$ на число $\alpha$ называется вектор $\alpha \cdot \bar{a}=(\alpha a_{1},\alpha a_{2},\alpha a_{3})$ , который параллелен вектору $\bar{a}$ , сонаправлен с $\bar{a}$ , если $\alpha >0$ , и противоположно направлен, если $\alpha <0$ .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Скалярным произведением векторов $\bar{a}=(a_{1},a_{2},a_{3})$ и $\bar{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})$ называется число $(\bar{a},\bar{b})$ , равное сумме произведений соответствующих координат:

$(\bar{a},\bar{b})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

Также скалярное произведение векторов можно вычислить как произведение модулей векторов на косинус угла между ними:

$(\bar{a},\bar{b})=|\bar{a}||\bar{b}|\cos (\bar{a},\bar{b})$

Свойства скалярного произведения

$(\bar{a},\bar{b})=(\bar{b},\bar{a})$
$(\bar{a},\bar{b}+\bar{c})=(\bar{a},\bar{b})+(\bar{a},\bar{c})$
$(\lambda \bar{a},\bar{b})=(\bar{a},\lambda \bar{b})=\lambda (\bar{a},\bar{b})$
$(\bar{a},\bar{a})\ge 0$
$(\bar{a},\bar{a})=|\bar{a}{{|}^{2}}$
$(\bar{a},\bar{b})=0\Leftrightarrow \bar{a}\bot \bar{b}$

Векторным произведением векторов $\bar{a}$ и $\bar{b}$ называется вектор $\bar{c}=\bar{a}\times \bar{b}$ (или $\bar{c}=[\bar{a},\bar{b}]$ ) такой, что:

1) вектор $\bar{c}$ ортогонален векторам $\bar{a}$ и $\bar{b}$ :

$\bar{c}\bot \bar{a},\ \bar{c}\bot \bar{b}$

2) векторы $\bar{a},\ \bar{b}$ и $\bar{c}$ образуют правую тройку;

3) модуль векторного произведения равен площади параллелограмма построенного на векторах $\bar{a}$ и $\bar{b}$ :

$|\bar{c}|=|\bar{a}|\cdot |\bar{b}|\cdot \sin (\bar{a},\bar{b})$

Если векторы $\bar{a}=(a_{1},a_{2},a_{3})$ и $\bar{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})$ заданы своими координатами, то векторное произведение находится по формуле:

$[\bar{a},\bar{b}]=\left| \begin{matrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ \end{matrix} \right|$

Свойства векторного произведения

$[\bar{a},\bar{b}]=-[\bar{b},\bar{a}]$
$[\bar{a},\bar{b}+\bar{c}]=[\bar{a},\bar{b}]+[\bar{a},\bar{c}]$
$[\lambda \bar{a},\bar{b}]=[\bar{a},\lambda \bar{b}]=\lambda [\bar{a},\bar{b}]$
$[\bar{a},\bar{b}]=\bar{0}$ , если векторы $\bar{a}$ и $\bar{b}$ коллинеарные

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Смешанным произведением $\bar{a},\bar{b}$ и $\bar{c}$ векторов называется скалярное произведение вектора $\bar{a}$ на векторное произведение векторов $\bar{b}$ и $\bar{c}$ :

$(\bar{a},\bar{b},\bar{c})=(\bar{a},\bar{b}\times \bar{c})$

Свойства смешанного произведения

Смешанное произведение равно нулю, если векторы $\bar{a},\ \bar{b}$ и $\bar{c}$ – компланарны
Модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов $\bar{a},\ \bar{b}$ и $\bar{c}$ равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах
Смешанное произведение векторов $\bar{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}),\ \bar{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})$ и $\bar{c}=(c_{1},c_{2},c_{3})$ , заданных своими координатами, равно значению определителя, составленного из координат этих векторов:
$(\bar{a},\bar{b},\bar{c})=\left| \begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ \end{matrix} \right|$
Если тройка векторов $\bar{a},\ \bar{b}$ и $\bar{c}$ правая, то смешанное произведение $(\bar{a},\bar{b},\bar{c})>0$ , если левая, то $(\bar{a},\bar{b},\bar{c})<0$
$(\lambda \bar{a},\bar{b},\bar{c})=(\bar{a},\lambda \bar{b},\bar{c})=(\bar{a},\bar{b},\lambda \bar{c})=\lambda (\bar{a},\bar{b},\bar{c})$
$(\bar{a}+\bar{d},\bar{b},\bar{c})=(\bar{a},\bar{b},\bar{c})+(\bar{d},\bar{b},\bar{c})$
$(\bar{a},\bar{b},\bar{c})+(\bar{b},\bar{c},\bar{a},)+(\bar{c},\bar{a},\bar{b})=0$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Для векторов $\bar{a}=(3,6,-2)$ и $\bar{b}=(2,-1,5)$ найти вектор $5\bar{a}-3\bar{b}$

Решение

Найдем векторы

$5\bar{a}=5\cdot (3,6,-2)=(15,30,-10); \quad 3\bar{b}=3\cdot (2,-1,5)=(6,-3,15)$

Найдем разность:

$5\bar{a}-3\bar{b}=(15,30,-10)-(6,-3,15)=(15-6,30-(-3),-10-15)=(9,33,-25)$

Ответ

$5\bar{a}-3\bar{b}=(9,33,-25)$

ПРИМЕР 2

Задание

Найти скалярное и векторное произведение векторов $\bar{a}=(1,-3,5)$ и $\bar{b}=(1,2,0)$

Решение

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат:

$(\bar{a},\bar{b})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=1\cdot 1+(-3)\cdot 2+5\cdot 0=-5$

Векторное произведение векторов, заданных своими координатами равно

$[\bar{a},\bar{b}]=\left| \begin{matrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 1 & -3 & 5 \\ 1 & 2 & 0 \\ \end{matrix} \right|=-10\bar{i}+5\bar{j}+5\bar{k}$

т.е. $[\bar{a},\bar{b}]=(-10,5,5)$ .

Ответ

$(\bar{a},\bar{b})=-5,\ [\bar{a},\bar{b}]=(-10,5,5)$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Свойства векторов

Операция сложения векторов обладает такими свойствами

Свойства скалярного произведения

Свойства векторного произведения

Свойства смешанного произведения

Примеры решения задач