Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Свойства векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Вектором называется направленный отрезок, который обозначают A\bar{B} (начало в точке А, конец в точке В) или \bar{a}.

Если концы вектора заданы своими координатами в пространстве A=(a_{1},a_{2},a_{3}),\ B=(b_{1},b_{2},b_{3}), то координаты вектора

    \[A\bar{B}=(b_{1}-a_{1},b_{2}-a_{2},b_{3}-a_{3})\]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Модулем (длиной) вектора \bar{c}=(c_{1},c_{2},c_{3}) называется число, равное расстоянию от начала до конца вектора, оно вычисляется по формуле:

    \[\bar{c}=\sqrt{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}}\]

Вектор называется единичным, если его длина равна единице. Вектор называется нулевым, если его длина равна нулю.

Векторы \bar{a} и \bar{b} называются коллинеарными, если они или лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Суммой векторов \bar{a} и \bar{b} (конец вектора \bar{a} совпадает с началом \bar{b}) называется вектор \bar{c}, начало которого совпадает с началом вектора \bar{a}, а конец – с концом вектора \bar{b}. Графически это выглядит так, как показано на рисунке (правило треугольника)

Операция сложения векторов обладает такими свойствами

  1. \bar{a}+\bar{b}=\bar{b}+\bar{a}
  2. (\bar{a}+\bar{b})+\bar{c}=a+(\bar{b}+\bar{c})
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Разностью векторов \bar{a} и \bar{b} называется такой вектор \bar{c}, который в сумме с вектором \bar{b} дает вектор \bar{a}.

Если векторы \bar{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}) и \bar{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}) заданы своими координатами, то сумма/разность этих векторов

    \[\bar{a}\pm \bar{b}=(a_{1}\pm b_{1},a_{2}\pm b_{2},a_{3}\pm b_{3})\]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Произведением вектора \bar{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}) на число \alpha называется вектор \alpha \cdot \bar{a}=(\alpha a_{1},\alpha a_{2},\alpha a_{3}), который параллелен вектору \bar{a}, сонаправлен с \bar{a}, если \alpha >0, и противоположно направлен, если \alpha <0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Скалярным произведением векторов \bar{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}) и \bar{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}) называется число (\bar{a},\bar{b}), равное сумме произведений соответствующих координат:

    \[(\bar{a},\bar{b})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\]

Также скалярное произведение векторов можно вычислить как произведение модулей векторов на косинус угла между ними:

    \[(\bar{a},\bar{b})=|\bar{a}||\bar{b}|\cos (\bar{a},\bar{b})\]

Свойства скалярного произведения

  1. (\bar{a},\bar{b})=(\bar{b},\bar{a})
  2. (\bar{a},\bar{b}+\bar{c})=(\bar{a},\bar{b})+(\bar{a},\bar{c})
  3. (\lambda \bar{a},\bar{b})=(\bar{a},\lambda \bar{b})=\lambda (\bar{a},\bar{b})
  4. (\bar{a},\bar{a})\ge 0
  5. (\bar{a},\bar{a})=|\bar{a}{{|}^{2}}
  6. (\bar{a},\bar{b})=0\Leftrightarrow \bar{a}\bot \bar{b}

Векторным произведением векторов \bar{a} и \bar{b} называется вектор \bar{c}=\bar{a}\times \bar{b} (или \bar{c}=[\bar{a},\bar{b}]) такой, что:

1) вектор \bar{c} ортогонален векторам \bar{a} и \bar{b}:

    \[\bar{c}\bot \bar{a},\ \bar{c}\bot \bar{b}\]

2) векторы \bar{a},\ \bar{b} и \bar{c} образуют правую тройку;

3) модуль векторного произведения равен площади параллелограмма построенного на векторах \bar{a} и \bar{b}:

    \[|\bar{c}|=|\bar{a}|\cdot |\bar{b}|\cdot \sin (\bar{a},\bar{b})\]

Если векторы \bar{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}) и \bar{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}) заданы своими координатами, то векторное произведение находится по формуле:

    \[[\bar{a},\bar{b}]=\left| \begin{matrix}    \bar{i} & \bar{j} & \bar{k}  \\    a_{1} & a_{2} & a_{3}  \\    b_{1} & b_{2} & b_{3}  \\ \end{matrix} \right|\]

Свойства векторного произведения

  1. [\bar{a},\bar{b}]=-[\bar{b},\bar{a}]
  2. [\bar{a},\bar{b}+\bar{c}]=[\bar{a},\bar{b}]+[\bar{a},\bar{c}]
  3. [\lambda \bar{a},\bar{b}]=[\bar{a},\lambda \bar{b}]=\lambda [\bar{a},\bar{b}]
  4. [\bar{a},\bar{b}]=\bar{0}, если векторы \bar{a} и \bar{b} коллинеарные
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Смешанным произведением \bar{a},\bar{b} и \bar{c} векторов называется скалярное произведение вектора \bar{a} на векторное произведение векторов \bar{b} и \bar{c}:

    \[(\bar{a},\bar{b},\bar{c})=(\bar{a},\bar{b}\times \bar{c})\]

Свойства смешанного произведения

  1. Смешанное произведение равно нулю, если векторы \bar{a},\ \bar{b} и \bar{c} – компланарны
  2. Модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов \bar{a},\ \bar{b} и \bar{c} равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах
  3. Смешанное произведение векторов \bar{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}),\ \bar{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}) и \bar{c}=(c_{1},c_{2},c_{3}), заданных своими координатами, равно значению определителя, составленного из координат этих векторов:

        \[(\bar{a},\bar{b},\bar{c})=\left| \begin{matrix}    a_{1} & a_{2} & a_{3}  \\    b_{1} & b_{2} & b_{3}  \\    c_{1} & c_{2} & c_{3}  \\ \end{matrix} \right|\]

  4. Если тройка векторов \bar{a},\ \bar{b} и \bar{c} правая, то смешанное произведение (\bar{a},\bar{b},\bar{c})>0, если левая, то (\bar{a},\bar{b},\bar{c})<0
  5. (\lambda \bar{a},\bar{b},\bar{c})=(\bar{a},\lambda \bar{b},\bar{c})=(\bar{a},\bar{b},\lambda \bar{c})=\lambda (\bar{a},\bar{b},\bar{c})
  6. (\bar{a}+\bar{d},\bar{b},\bar{c})=(\bar{a},\bar{b},\bar{c})+(\bar{d},\bar{b},\bar{c})
  7. (\bar{a},\bar{b},\bar{c})+(\bar{b},\bar{c},\bar{a},)+(\bar{c},\bar{a},\bar{b})=0

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Для векторов \bar{a}=(3,6,-2) и \bar{b}=(2,-1,5) найти вектор 5\bar{a}-3\bar{b}
Решение Найдем векторы

    \[5\bar{a}=5\cdot (3,6,-2)=(15,30,-10); \quad 3\bar{b}=3\cdot (2,-1,5)=(6,-3,15)\]

Найдем разность:

    \[5\bar{a}-3\bar{b}=(15,30,-10)-(6,-3,15)=(15-6,30-(-3),-10-15)=(9,33,-25)\]

Ответ 5\bar{a}-3\bar{b}=(9,33,-25)
ПРИМЕР 2
Задание Найти скалярное и векторное произведение векторов \bar{a}=(1,-3,5) и \bar{b}=(1,2,0)
Решение Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат:

    \[(\bar{a},\bar{b})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=1\cdot 1+(-3)\cdot 2+5\cdot 0=-5\]

Векторное произведение векторов, заданных своими координатами равно

    \[[\bar{a},\bar{b}]=\left| \begin{matrix}    \bar{i} & \bar{j} & \bar{k}  \\    a_{1} & a_{2} & a_{3}  \\    b_{1} & b_{2} & b_{3}  \\ \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix}    \bar{i} & \bar{j} & \bar{k}  \\    1 & -3 & 5  \\    1 & 2 & 0  \\ \end{matrix} \right|=-10\bar{i}+5\bar{j}+5\bar{k}\]

т.е. [\bar{a},\bar{b}]=(-10,5,5) .

Ответ (\bar{a},\bar{b})=-5,\  [\bar{a},\bar{b}]=(-10,5,5)