Равенства и неравенства

Определение равенств и неравенства

На практике часто приходится сравнивать величины. Когда сравниваются величины, приходится сравнивать числа. Результаты этих сравнений записывают в виде числовых равенств и неравенств, используя знаки $=, <, >$ .

Если число $a$ больше, чем число $b$ , то пишут $a>b$ ; если число $a$ меньше, чем число $b$ , то пишут $a<b$ . Например, $15>7, -4>6, 3=3$ .

Если разность чисел $a$ и $b$ — положительное число, то $a>b$ ; если разность чисел $a$ и $b$ — отрицательное число, то $a<b$ ; числа $a$ и $b$ равны, если разность $a-b$ равна нулю.

Для любых двух чисел справедливо только одно из соотношений $a>b, a<b, a=b$ .

Также в математике для высказывания «не больше» использую знак $\le$ («меньше либо равно») и для выражения «не меньше» — знак $\ge$ («больше либо равно»):

если $a<b$ или $a=b$ , то верно неравенство $a\le b$ ;
если $a>b$ или $a=b$ , то верно неравенство $a\ge b$

Знаки <, > называют знаками строго неравенства, а знаки $\le ,\ge$ — знаками нестрого неравенства.

Равенства и неравенства бывают верными (например, $5<7, 4=4$ ) и неверными (например, $7>9, 5=6$ )

Если неравенство содержит в себе переменную величину, то решить неравенство означает найти все значения переменной, которые обращают его в верное числовое неравенство.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Доказать, что при любых значениях $c$ справедливо неравенство $(c-5)(c-1)>c(c-6)$

Доказательство

Для решения достаточно показать, что при любом $c$ разность правой и левой частей неравенства положительна:

$(c-5)(c-1)-c(c-6)=c^{2} -c-5c+5-c^{2} +6c=5$

Поскольку, 5 — число положительное, то неравенство доказано.

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 2

Задание

Докажите, что $a^{3} -6a^{2} +a-6\ge 0$ , если $a\ge 6$

Доказательство

Преобразуем неравенство следующим образом

$a^{2} (a-6)+(a-6)\ge 0\ \Leftrightarrow \ (a-6)(a^{2} +1)\ge 0$

По условию $a\ge 6$ , значит, скобка $(a-6)$ в полученном неравенстве будет больше либо равна нулю, а скобка $(a^{2} +1)$ всегда больше нуля. Тогда произведение этих скобок есть величина неотрицательная, т.е. заданное неравенство доказано.

Что и требовалось доказать.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Равенства и неравенства

Определение равенств и неравенства

Примеры решения задач