Числовые неравенства и их решение

Определение и формулы числовых неравенств

Число $0$ больше числа $b$ , если разность $a-b$ является положительным числом.

Число $0$ меньше числа $b$ , если разность $a-b$ является отрицательным числом.

Если число $0$ больше числа $b$ , то пишут $a>b$ , если число $0$ меньше числа $b$ , то пишут $a<b$ .

Для любых чисел $a,\; b$ справедливо только одно из соотношений:

$a>b, a<b, a=b$

Также для записи математических неравенств используют знаки $\ge$ (больше или равно) и $\le$ (меньше или равно).

Знаки <, > называют знаками строгого неравенства, а знаки $\le\; \ge$ — знаками нестрогого неравенства.

Основные свойства числовых неравенств

Если $a>b$ и $b>c$ , то $a>c$ (если $a<b$ и $b<c$ , то $a<c$ );
Если $a>b$ и $c$ — любое число, то $a+c>b+c$ (если $a<b$ и $c$ — любое число, то $a+c<b+c$ );
Если любое слагаемое перенести из одной части верного неравенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный, то получим верное неравенство;
Если $a>b$ и $c$ — положительное число, то $ac>bc$ , если $a>b$ и $c$ — отрицательное число, то $ac<bc$ (если $a<b$ и $c$ — положительное число, то $ac<bc$ , если $a<b$ и $c$ — отрицательное число, то $ac>bc$ )
Если $ab>0$ и $a>b$ , то $\frac{1}{a} <\frac{1}{b}$ .

Операции с неравенствами

Если $a>b$ и $c>d$ , то $a+c>b+d$ ;
Если $a<b$ и $c<d$ , то $a+c<b+d$ ;
Если $a>b$ и $c>d, a,b,c,d$ — положительные числа, то $ac>bd$ ;
Если $a<b$ и $c<d, a,b,c,d$ — положительные числа, то $ac<bd$ ;
Если $a>b, a,b$ — положительные числа, то $a^{n} >b^{n}$ , где $n$ — натуральное число.

Примеры решения числовых неравенств

ПРИМЕР 1

Задание

Доказать, что $\sqrt{27} +\sqrt{65} >13$

Доказательство

Очевидно, что справедливы следующие неравенства $\sqrt{27} >5$ и $\sqrt{65} >8$ . Сложим почленно правые и левые части этих неравенств одного смысла и получим

$\sqrt{27} +\sqrt{65} >5+8=13$

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 2

Задание	Известно, что $b>0, a>b$ . Является ли верным неравенство $2-a^{2} <2-b^{2}$ ?
Решение	По условию $b>0$ и $a>b$ , а значит и $a>0$ . Следовательно, справедливо неравенство $a^{2} >b^{2}$ . Умножим обе части этого неравенства на -1, при этом меняется знак неравенства, т.е. $-a^{2} <-b^{2}$ . Прибавим к правой и левой частям неравенства 2 и получим $2-a^{2} <2-b^{2}$
Ответ	Неравенство является верным

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Числовые неравенства и их решение

Определение и формулы числовых неравенств

Основные свойства числовых неравенств

Операции с неравенствами

Примеры решения числовых неравенств