Дробные неравенства и их решение

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Неравенство вида

$\frac{ax+b}{cx+d} >0$

(знак может быть $<,\; \ge ,\; \le$ ) называется дробно-линейным неравенством.

Решать дробно-линейные неравенства можно методом интервалов. Для этого находим нули числителя и знаменателя и отмечаем их на числовой оси. Нуль знаменателя всегда отмечаем выколотой точкой (не включается в решение). На каждом из полученных интервалов проверяем знак дроби, выбираем нужный интервал и записываем решением.

Примеры решения дробных неравенств

ПРИМЕР 1

Задание

Решить неравенство

$\frac{2x+5}{x-3} \ge 0$

Решение

Будем решать заданное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя

$\begin{array}{l} {2x+5=0\ \Rightarrow \ x=-2,5,} \\ {x-3=0\ \Rightarrow \ x=3} \end{array}$

Отметим их на числовой прямой

Решение дробного неравенства на числовой прямой

Решением неравенства будет промежуток $(-\infty ;-2,5]\bigcup (3,+\infty )$

Ответ

$x\in (-\infty ;-2,5]\bigcup (3,+\infty )$

ПРИМЕР 2

Задание

Решить неравенство

$\frac{3x+4}{x-5} \le 4$

Решение

Чтобы решить это неравенство, перенесем 4 в левую часть, и приведем к общему знаменателю

$\frac{3x+4}{x-5} \le 4\; \; \Rightarrow \; \; \frac{3x+4}{x-5} -4\le 0\; \; \Rightarrow \; \frac{-x+24}{x-5} \le 0.\; \; \;$

Найдем нули числителя и знаменателя

$\begin{array}{l} {-x+24=0\ \Rightarrow \ x=24,} \\ {x-5=0\ \Rightarrow \ x=5.} \end{array}$

и отметим их на числовой оси

Выбираем те интервалы, на которых дробь меньше либо равна нулю, т.е $x\in (-\infty ;5)\bigcup [24;+\infty )$ .

Ответ

$x\in (-\infty ;5)\bigcup [24;+\infty )$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Дробные неравенства и их решение

Примеры решения дробных неравенств