Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Основные свойства дробей

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Обыкновенной дробью называется запись числа в виде \frac{a}{b},b\ne 0, которая означает деление числа a на число b. Число a называется числителем дроби, число b – ее знаменателем.

Если числитель дроби меньше знаменателя, то такая дробь называется правильной, а если числитель больше знаменателя, то неправильной. В неправильной дроби можно выделить целую часть.

Свойства дробей

Сложение и вычитание дробей. Чтобы сложить (вычесть) две дроби с одинаковыми знаменателями нужно сложить (вычесть) их числители:

    \[\frac{a}{b}\pm \frac{c}{b}=\frac{a\pm c}{b}\]

Чтобы сложить (вычесть) две дроби с разными знаменателями нужно привести их общему знаменателю, а потом сложить числители (вычесть из первого числителя второй):

    \[\frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{b\cdot d}\]

Умножение и деление дробей. Чтобы умножить две обыкновенные дроби нужно умножить их числители и знаменатели:

    \[\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}\]

Чтобы умножить дробь на число нужно умножить числитель дроби на это число:

    \[\frac{a}{b}\cdot n=\frac{a\cdot n}{b}\]

Чтобы разделить одну дробь на другую нужно первую дробь умножить на дробь, обратную ко второй:

    \[\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}\]

Сравнение дробей. Чтобы сравнить две дроби, нужно привести их одному знаменателю и сравнить числители. У какой дроби числитель больше та дробь и больше.

Основное свойство дроби. Числитель и знаменатель дроби можно умножать и делить на одно и то же число, при этом величина дроби не изменится:

    \[\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти значение выражения

    \[ \left( \frac{3}{5}+\frac{7}{4} \right)\cdot \frac{10}{3} \]

Решение Сначала найдем значение выражения в скобках

    \[\frac{3}{5}+\frac{7}{4}=\frac{3\cdot 4+7\cdot 5}{5\cdot 4}=\frac{47}{20}\]

Вторым действием будет умножение:

    \[\frac{47}{20}\cdot \frac{10}{3}=\frac{47\cdot 10}{20\cdot 3}=\frac{47\cdot 10}{2\cdot 10\cdot 3}=\frac{47}{6}\]

Ответ \left( \frac{3}{5}+\frac{7}{4} \right)\cdot \frac{10}{3}=\frac{47}{6}
ПРИМЕР 2
Задание Привести дроби \frac{5}{6}, \frac{4}{9} и \frac{8}{3} к общему знаменателю.
Решение Числа 6, 9 и 3 одновременно являются делителями числа 18, значит, оно и будет общим знаменателем, т.е. нужно домножить числитель и знаменатель первой дроби на 3, второй – на 2, а третьей – на 6:

    \[\frac{5}{6}=\frac{5\cdot 3}{6\cdot 3}=\frac{15}{18}; \quad \frac{4}{9}=\frac{4\cdot 2}{9\cdot 2}=\frac{8}{18}; \quad \frac{8}{3}=\frac{8\cdot 6}{3\cdot 6}=\frac{48}{18}\]

Ответ \frac{15}{18}, \quad \frac{8}{18}, \quad \frac{48}{18}