Метод неопределенных коэффициентов

Метод неопределенных коэффициентов применяют при интегрировании рациональных дробей.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Рациональной дробью называется дробь вида $\frac{P_{m}\left( x \right)}{Q_{n}\left( x \right)}$ , где $P_{m}\left( x \right)$ и $Q_{n}\left( x \right)$ являются многочленами степени $m$ и $n$ соответственно. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя $P_{m}\left( x \right)$ ниже степени знаменателя $Q_{n}\left( x \right)$ , то есть если $m<n$ ; в противном случае дробь называют неправильной (если $m\ge n$ ).

Любая правильная рациональная дробь $\frac{P_{m}\left( x \right)}{Q_{n}\left( x \right)}$ может быть единственным образом представлена в виде суммы простых рациональных дробей.

Простыми (наипростейшими) рациональными дробями называются дроби вида:

$1) \frac{A}{x-a}; \qquad 2) \frac{A}{{{\left( x-a \right)}^{m}}},\ m\ge 1\in Z; \qquad 3) \frac{Ax+B}{x^{2}+px+q}$

причем квадратный трехчлен $x^{2}+px+q$ не имеет действительных корней (то есть $p^{2}-4q<0$ );

$4) \frac{Ax+B}{{{\left( x^{2}+px+q \right)}^{m}}},\ m\ge 1\in Z,\ p^{2}-4q<0$

Если заданная рациональная дробь неправильная, то вначале нужно выделить целую часть, а для этого поделить числитель на знаменатель в столбик.

ПРИМЕР 1

Задание

Выполнить деление многочлена $f\left( x \right)=x^{5}-6x^{3}+2x^{2}-4$ на многочлен $g\left( x \right)=x^{2}-x+1 .$

Решение

Поделим многочлен $f\left( x \right)$ на многочлен $g\left( x \right)$ уголком:

То есть

$\frac{x^{5}-6x^{3}+2x^{2}-4}{x^{2}-x+1}=x^{3}+x^{2}-6x-5+\frac{x+1}{x^{2}-x+1}$

Ответ

Алгоритм метода неопределенных коэффициентов

Чтобы разложить правильную рациональную дробь $\frac{P_{m}\left( x \right)}{Q_{n}\left( x \right)}$ на простые дроби, необходимы следующие действия.

Разложить знаменатель $Q_{n}\left( x \right)$ на линейные и квадратные множители, не имеющие действительных корней (см. знаменатели простейших рациональных дробей). Каждому сомножителю вида ${{\left( x-a \right)}^{k}}$ разложения $Q_{n}\left( x \right)$ отвечает в разложении дроби $\frac{P_{m}\left( x \right)}{Q_{n}\left( x \right)}$ выражение вида
$\frac{A_{1}}{x-a}+\frac{A_{2}}{{{\left( x-a \right)}^{2}}}+...+\frac{A_{k}}{{{\left( x-a \right)}^{k}}}$

А каждому сомножителю ${{\left( x^{2}+px+q \right)}^{s}}$ отвечает выражение вида

$\frac{B_{1}x+C_{1}}{x^{2}+px+q}+\frac{B_{2}x+C_{2}}{{{\left( x^{2}+px+q \right)}^{2}}}+...+\frac{B_{s}x+C_{s}}{{{\left( x^{2}+px+q \right)}^{s}}}$
Записать разложение $\frac{P_{m}\left( x \right)}{Q_{n}\left( x \right)}$ на простейшие дроби с неизвестными коэффициентами, используя приведенные выше разложения. Отметим, что коэффициенты разложений пока являются неизвестными.
Сумму простейших дробей привести к общему знаменателю.
Далее используется тот факт, что две дроби равны, если равны их числители, и равны их знаменатели соответственно. Поэтому приравниваем числитель исходной дроби $P_{m}\left( x \right)$ и дроби, которая получилась в пункте 3.
Два многочлена равны, когда равны коэффициенты при соответствующих степенях переменной. Согласно чему получаем систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов.
Решив эту систему, определим коэффициенты и запишем разложение дроби $\frac{P_{m}\left( x \right)}{Q_{n}\left( x \right)}$ на простые дроби.

ЗАМЕЧАНИЕ

Если рациональная дробь $\frac{P_{m}\left( x \right)}{Q_{n}\left( x \right)}$ является неправильной ( $m\ge n$ ), то, прежде всего, необходимо выделить целую часть, поделив числитель на знаменатель в столбик. И далее придерживаться алгоритма.

ПРИМЕР 2

Задание

Представить дробь в виде суммы простейших дробей.

$\frac{x+1}{x^{4}+5x^{3}+6x^{2}}$

Решение

Заданная дробь является правильной, так как степень числителя меньше степени знаменателя. Поэтому раскладываем знаменатель $x^{4}+5x^{3}+6x^{2}$ на множители:

$x^{4}+5x^{3}+6x^{2}=x^{2}\left( x^{2}+5x+6 \right)=x^{2}\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)$

Тогда искомое разложение принимает вид:

$\frac{x+1}{x^{4}+5x^{3}+6x^{2}}=\frac{x+1}{x^{2}\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)}=\frac{A_{1}}{x}+\frac{A_{2}}{x^{2}}+\frac{A_{3}}{x+2}+\frac{A_{4}}{x+3}$

В правой части приводим к общему знаменателю:

$\frac{x+1}{x^{2}\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)}=$

$=\frac{A_{1}x\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)+A_{2}\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)+A_{3}x^{2}\left( x+3 \right)+A_{4}x^{2}\left( x+2 \right)}{x^{2}\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)}$

Две дроби равны, если равны их числители и знаменатели соответственно, то есть получаем

$x+1=A_{1}\left( x^{3}+5x^{2}+6x \right)+A_{2}\left( x^{2}+5x+6 \right)+A_{3}\left( x^{3}+3x^{2} \right)+A_{4}\left( x^{3}+2x^{2} \right)$

Два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующей степени переменной:

$\left. \begin{matrix} & x^{3} \\ & x^{2} \\ & x^{1} \\ & x^{0} \\ \end{matrix} \right|\begin{array}{lcl} A_{1}+A_{3}+A_{4}=0, \\ 5A_{1}+A_{2}+3A_{3}+2A_{4}=0, \\ 6A_{1}+5A_{2}=1, \\ 6A_{2}=1. \\ \end{array}$

Решая полученную систему

$\left\{ \begin{array}{lcl} A_{1}+A_{3}+A_{4}=0, \\ 5A_{1}+A_{2}+3A_{3}+2A_{4}=0, \\ 6A_{1}+5A_{2}=1, \\ 6A_{2}=1 \\ \end{array} \right$

относительно неизвестных коэффициентов $A_{1},\ A_{2},\ A_{3}$ и $A_{4}$ , будем иметь:

$\left\{ \begin{matrix} A_{1}=\frac{1}{36}, \\ A_{2}=\frac{1}{6}, \\ A_{3}=-\frac{1}{4}, \\ A_{4}=\frac{2}{9}. \\ \end{matrix} \right.$

Итак, искомое представление в виде суммы простейших дробей

$\frac{x+1}{x^{4}+5x^{3}+6x^{2}}=\frac{1}{36}\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{x+2}+\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{x+3}$

Ответ

Примеры решения интегралов данным методом

ПРИМЕР 3

Задание

Найти интеграл

$\int \frac{x^{2} +1}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} dx$

Решение

Подынтегральная функция $f\left(x\right)=\frac{x^{2} +1}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}$ представляет собой неправильную рациональную дробь (степень числителя равна степени знаменателя). Поэтому вначале выделим целую часть (поделим числитель на знаменатель столбиком). Так как $\left(x-2\right)\left(x+1\right)=x^{2} -x-2$ , то будем иметь:

То есть

$f\left(x\right)=\frac{x^{2} +1}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} =1+\frac{x+3}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}$

Дробь $\frac{x+3}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}$ представим в виде суммы простейших дробей:

$\frac{x+3}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} =\frac{A}{x-2} +\frac{B}{x+1}$

Неизвестные коэффициенты $A$ и $B$ найдем с помощью метода неопределенных коэффициентов. Вначале дроби, стоящие в правой части последнего равенства приведем к общему знаменателю:

$\frac{x+3}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} =\frac{A\left(x+1\right)+B\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}$

Далее воспользуемся тем фактом, что две дроби равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях. В итоге получаем равенство двух многочленов:

$x+3=A\left(x+1\right)+B\left(x-2\right)$

Два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях:

$\left. \begin{array}{l} {x^{1} } \\ {x^{0} } \end{array}\right|\begin{array}{l} {1=A+B} \\ {3=A-2B} \end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {A=\frac{5}{3} ,} \\ {B=-\frac{2}{3} .} \end{array}\right.$

То есть

$\frac{x+3}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} =\frac{5}{3} \frac{1}{x-2} -\frac{2}{3} \frac{1}{x+1}$

$f\left(x\right)=\frac{x^{2} +1}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} =1+\frac{5}{3} \frac{1}{x-2} -\frac{2}{3} \frac{1}{x+1}$

Тогда заданный интеграл принимает вид:

$\int \frac{x^{2} +1}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} dx=\int \left(1+\frac{5}{3} \frac{1}{x-2} -\frac{2}{3} \frac{1}{x+1} \right)dx =\int dx +\frac{5}{3} \int \frac{dx}{x-2} -\frac{2}{3} \int \frac{dx}{x+1} =$

$=x+\frac{5}{3} \ln \left|x-2\right|-\frac{2}{3} \ln \left|x+1\right|+C$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Метод неопределенных коэффициентов

Алгоритм метода неопределенных коэффициентов

Примеры решения интегралов данным методом