Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Метод неопределенных коэффициентов

Метод неопределенных коэффициентов применяют при интегрировании рациональных дробей.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Рациональной дробью называется дробь вида \frac{P_{m}\left( x \right)}{Q_{n}\left( x \right)}, где P_{m}\left( x \right) и Q_{n}\left( x \right) являются многочленами степени m и n соответственно. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя P_{m}\left( x \right) ниже степени знаменателя Q_{n}\left( x \right), то есть если m<n; в противном случае дробь называют неправильной (если m\ge n).

Любая правильная рациональная дробь \frac{P_{m}\left( x \right)}{Q_{n}\left( x \right)} может быть единственным образом представлена в виде суммы простых рациональных дробей.

Простыми (наипростейшими) рациональными дробями называются дроби вида:

    \[1) \frac{A}{x-a}; \qquad 2) \frac{A}{{{\left( x-a \right)}^{m}}},\ m\ge 1\in Z; \qquad 3) \frac{Ax+B}{x^{2}+px+q}\]

причем квадратный трехчлен x^{2}+px+q не имеет действительных корней (то есть p^{2}-4q<0);

    \[4) \frac{Ax+B}{{{\left( x^{2}+px+q \right)}^{m}}},\ m\ge 1\in Z,\ p^{2}-4q<0\]

Если заданная рациональная дробь неправильная, то вначале нужно выделить целую часть, а для этого поделить числитель на знаменатель в столбик.

ПРИМЕР 1
Задание Выполнить деление многочлена f\left( x \right)=x^{5}-6x^{3}+2x^{2}-4 на многочлен g\left( x \right)=x^{2}-x+1 .
Решение Поделим многочлен f\left( x \right) на многочлен g\left( x \right) уголком:

То есть

    \[\frac{x^{5}-6x^{3}+2x^{2}-4}{x^{2}-x+1}=x^{3}+x^{2}-6x-5+\frac{x+1}{x^{2}-x+1}\]

Ответ

Алгоритм метода неопределенных коэффициентов

Чтобы разложить правильную рациональную дробь \frac{P_{m}\left( x \right)}{Q_{n}\left( x \right)} на простые дроби, необходимы следующие действия.

  1. Разложить знаменатель Q_{n}\left( x \right) на линейные и квадратные множители, не имеющие действительных корней (см. знаменатели простейших рациональных дробей). Каждому сомножителю вида {{\left( x-a \right)}^{k}} разложения Q_{n}\left( x \right) отвечает в разложении дроби \frac{P_{m}\left( x \right)}{Q_{n}\left( x \right)} выражение вида

        \[\frac{A_{1}}{x-a}+\frac{A_{2}}{{{\left( x-a \right)}^{2}}}+...+\frac{A_{k}}{{{\left( x-a \right)}^{k}}}\]

    А каждому сомножителю {{\left( x^{2}+px+q \right)}^{s}} отвечает выражение вида

        \[\frac{B_{1}x+C_{1}}{x^{2}+px+q}+\frac{B_{2}x+C_{2}}{{{\left( x^{2}+px+q \right)}^{2}}}+...+\frac{B_{s}x+C_{s}}{{{\left( x^{2}+px+q \right)}^{s}}}\]

  2. Записать разложение \frac{P_{m}\left( x \right)}{Q_{n}\left( x \right)} на простейшие дроби с неизвестными коэффициентами, используя приведенные выше разложения. Отметим, что коэффициенты разложений пока являются неизвестными.
  3. Сумму простейших дробей привести к общему знаменателю.
  4. Далее используется тот факт, что две дроби равны, если равны их числители, и равны их знаменатели соответственно. Поэтому приравниваем числитель исходной дроби P_{m}\left( x \right) и дроби, которая получилась в пункте 3.
  5. Два многочлена равны, когда равны коэффициенты при соответствующих степенях переменной. Согласно чему получаем систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов.
  6. Решив эту систему, определим коэффициенты и запишем разложение дроби \frac{P_{m}\left( x \right)}{Q_{n}\left( x \right)} на простые дроби.
ЗАМЕЧАНИЕ
Если рациональная дробь \frac{P_{m}\left( x \right)}{Q_{n}\left( x \right)} является неправильной (m\ge n), то, прежде всего, необходимо выделить целую часть, поделив числитель на знаменатель в столбик. И далее придерживаться алгоритма.
ПРИМЕР 2
Задание Представить дробь в виде суммы простейших дробей.

    \[\frac{x+1}{x^{4}+5x^{3}+6x^{2}}\]

Решение Заданная дробь является правильной, так как степень числителя меньше степени знаменателя. Поэтому раскладываем знаменатель x^{4}+5x^{3}+6x^{2} на множители:

    \[x^{4}+5x^{3}+6x^{2}=x^{2}\left( x^{2}+5x+6 \right)=x^{2}\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)\]

Тогда искомое разложение принимает вид:

    \[\frac{x+1}{x^{4}+5x^{3}+6x^{2}}=\frac{x+1}{x^{2}\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)}=\frac{A_{1}}{x}+\frac{A_{2}}{x^{2}}+\frac{A_{3}}{x+2}+\frac{A_{4}}{x+3}\]

В правой части приводим к общему знаменателю:

    \[\frac{x+1}{x^{2}\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)}=\]

    \[=\frac{A_{1}x\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)+A_{2}\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)+A_{3}x^{2}\left( x+3 \right)+A_{4}x^{2}\left( x+2 \right)}{x^{2}\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)}\]

Две дроби равны, если равны их числители и знаменатели соответственно, то есть получаем

    \[x+1=A_{1}\left( x^{3}+5x^{2}+6x \right)+A_{2}\left( x^{2}+5x+6 \right)+A_{3}\left( x^{3}+3x^{2} \right)+A_{4}\left( x^{3}+2x^{2} \right)\]

Два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующей степени переменной:

    \[\left. \begin{matrix} 				  & x^{3} \\  				 & x^{2} \\  				 & x^{1} \\  				 & x^{0} \\  				\end{matrix} \right|\begin{array}{lcl} 				   A_{1}+A_{3}+A_{4}=0,  \\ 				   5A_{1}+A_{2}+3A_{3}+2A_{4}=0,  \\ 				   6A_{1}+5A_{2}=1,  \\ 				   6A_{2}=1.  \\ 				\end{array}\]

Решая полученную систему

    \[\left\{ \begin{array}{lcl} 				   A_{1}+A_{3}+A_{4}=0,  \\ 				   5A_{1}+A_{2}+3A_{3}+2A_{4}=0,  \\ 				   6A_{1}+5A_{2}=1,  \\ 				   6A_{2}=1  \\ 				\end{array} \right\]

относительно неизвестных коэффициентов A_{1},\ A_{2},\ A_{3} и A_{4}, будем иметь:

    \[\left\{ \begin{matrix} 				  A_{1}=\frac{1}{36}, \\  				 A_{2}=\frac{1}{6}, \\  				 A_{3}=-\frac{1}{4}, \\  				 A_{4}=\frac{2}{9}. \\  				\end{matrix} \right.\]

Итак, искомое представление в виде суммы простейших дробей

    \[\frac{x+1}{x^{4}+5x^{3}+6x^{2}}=\frac{1}{36}\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{x+2}+\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{x+3}\]

Ответ

Примеры решения интегралов данным методом

ПРИМЕР 3
Задание Найти интеграл

    \[ \int \frac{x^{2} +1}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} dx \]

Решение Подынтегральная функция f\left(x\right)=\frac{x^{2} +1}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} представляет собой неправильную рациональную дробь (степень числителя равна степени знаменателя). Поэтому вначале выделим целую часть (поделим числитель на знаменатель столбиком). Так как \left(x-2\right)\left(x+1\right)=x^{2} -x-2, то будем иметь:

То есть

    \[f\left(x\right)=\frac{x^{2} +1}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} =1+\frac{x+3}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} \]

Дробь \frac{x+3}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} представим в виде суммы простейших дробей:

    \[\frac{x+3}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} =\frac{A}{x-2} +\frac{B}{x+1} \]

Неизвестные коэффициенты A и B найдем с помощью метода неопределенных коэффициентов. Вначале дроби, стоящие в правой части последнего равенства приведем к общему знаменателю:

    \[\frac{x+3}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} =\frac{A\left(x+1\right)+B\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} \]

Далее воспользуемся тем фактом, что две дроби равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях. В итоге получаем равенство двух многочленов:

    \[x+3=A\left(x+1\right)+B\left(x-2\right)\]

Два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях:

    \[\left. \begin{array}{l} {x^{1} } \\ {x^{0} } \end{array}\right|\begin{array}{l} {1=A+B} \\ {3=A-2B} \end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {A=\frac{5}{3} ,} \\ {B=-\frac{2}{3} .} \end{array}\right. \]

То есть

    \[ \frac{x+3}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} =\frac{5}{3} \frac{1}{x-2} -\frac{2}{3} \frac{1}{x+1} \]

    \[ f\left(x\right)=\frac{x^{2} +1}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} =1+\frac{5}{3} \frac{1}{x-2} -\frac{2}{3} \frac{1}{x+1} \]

Тогда заданный интеграл принимает вид:

    \[\int \frac{x^{2} +1}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} dx=\int \left(1+\frac{5}{3} \frac{1}{x-2} -\frac{2}{3} \frac{1}{x+1} \right)dx =\int dx +\frac{5}{3} \int \frac{dx}{x-2} -\frac{2}{3} \int \frac{dx}{x+1} =\]

    \[=x+\frac{5}{3} \ln \left|x-2\right|-\frac{2}{3} \ln \left|x+1\right|+C\]

Ответ