Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формулы степеней и их свойства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Число c называется n-ой степенью числа a , если

    \[ c=\underbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}_{n} \text{, }n\in N \]

Обозначается, c={{a}^{n}} . Ниже описаны основные формулы и свойства степеней, с примерами.

Любое ненулевое число в степени нуль равно единице:

    \[{{a}^{0}}=1\]

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

    \[{{a}^{x}}\cdot {{a}^{y}}={{a}^{x+y}}\]

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

    \[{{a}^{x}}:{{a}^{y}}={{a}^{x-y}}\]

При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

    \[{{\left( {{a}^{x}} \right)}^{y}}={{a}^{x\cdot y}}\]

Степень произведения двух сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей:

    \[{{\left( ab \right)}^{x}}={{a}^{x}}{{b}^{x}}\]

Отметим, что количество сомножителей может быть больше двух, тогда, аналогично, степень произведения нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей:

    \[{{\left( abc... \right)}^{x}}={{a}^{x}}{{b}^{x}}{{c}^{x}}\cdot ...\]

Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

    \[{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{x}}=\frac{{{a}^{x}}}{{{b}^{x}}},\ b\ne 0\]

Степень некоторого числа с отрицательным показателем равна единице, деленной на степень того же числа с показателем противоположным по знаку:

    \[{{a}^{-x}}=\frac{1}{{{a}^{x}}},\ a\ne 0\]

ПРИМЕР 1
Задание Упростить выражение

    \[ \frac{{{10}^{x}}\cdot {{2}^{-x}}}{{{5}^{x}}} \]

Решение Используя свойства степеней, упростим заданное выражение:

    \[\frac{{{10}^{x}}\cdot {{2}^{-x}}}{{{5}^{x}}}=\frac{{{10}^{x}}}{{{5}^{x}}\cdot {{2}^{x}}}=\frac{{{10}^{x}}}{{{\left( 5\cdot 2 \right)}^{x}}}=\frac{{{10}^{x}}}{{{10}^{x}}}=1\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Упростить {{b}^{0}}+{{b}^{2}}\cdot {{b}^{3}}
Решение Согласно свойствам степеней, имеем:

    \[{{b}^{0}}+{{b}^{2}}\cdot {{b}^{3}}=1+{{b}^{2+3}}=1+{{b}^{5}}\]

Ответ {{b}^{0}}+{{b}^{2}}\cdot {{b}^{3}}=1+{{b}^{5}}