Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Свойства логарифмов и их формулы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Логарифмом {{\log }_{a}}b числа b по основанию a\ \left( a>0,\ a\ne 1 \right) называется такое число c , что имеет место равенство b={{a}^{c}}:

    \[ {{\log }_{a}}b=c \text{ } \Leftrightarrow \text{ } b={{a}^{c}} \]

То есть логарифм числа b по основанию a определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b. Ниже разобраны основные формулы и свойства логарифмов, а также натуральные и десятичные логарифмы.

Если основание логарифма a=10 , то логарифм называется десятичным. Такой логарифм имеет специальное обозначение:

    \[{{\log }_{10}}b=\lg b\]

Логарифм с основанием a=e называется натуральным и обозначается

    \[{{\log }_{e}}b=\ln b\]

Основное логарифмическое тождество:

    \[{{a}^{{{\log }_{a}}b}}=b\]

    \[{{\log }_{a}}a=1 ,\ a>0,\ a\ne 1\]

    \[{{\log }_{a}}1=0 ,\ a>0,\ a\ne 1\]

Логарифм произведения

    \[{{\log }_{a}}\left( bc \right)={{\log }_{a}}\left| b \right|+{{\log }_{a}}\left| c \right| ,\ bc>0\]

Логарифм частного

    \[{{\log }_{a}}\frac{b}{c}={{\log }_{a}}\left| b \right|-{{\log }_{a}}\left| c \right| ,\ bc>0\]

Логарифм степени

    \[{{\log }_{a}}{{b}^{p}}=p{{\log }_{a}}\left| b \right| ,\ a>0 ,\ a\ne 1 ,\ {{b}^{p}}>0\]

    \[{{\log }_{{{a}^{k}}}}b=\frac{1}{k}{{\log }_{\left| a \right|}}b ,\ {{a}^{k}}>0,\ a\ne 1 ,\ b>0\]

    \[{{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a}\]

Переход к новому основанию

    \[{{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}\]

ПРИМЕР 1
Задание Упростить выражение

    \[ {{\log }_{2}}16\cdot {{\log }_{6}}72-\frac{4}{{{\log }_{2}}6} \]

Решение Запишем заданное выражение в следующем виде:

    \[{{\log }_{2}}16\cdot {{\log }_{6}}72-\frac{4}{{{\log }_{2}}6}={{\log }_{2}}{{2}^{4}}\cdot {{\log }_{6}}\left( 36\cdot 2 \right)-\frac{4}{{{\log }_{2}}6}=4{{\log }_{2}}2\cdot \left( {{\log }_{6}}36+{{\log }_{6}}2 \right)-\]

    \[-\frac{4}{{{\log }_{2}}6}=4\cdot 1\cdot \left( {{\log }_{6}}{{6}^{2}}+{{\log }_{6}}2 \right)-\frac{4}{{{\log }_{2}}6}=4\left( 2{{\log }_{6}}6+{{\log }_{6}}2 \right)-\frac{4}{{{\log }_{2}}6}=\]

    \[=4\left( 2+{{\log }_{6}}2 \right)-\frac{4}{{{\log }_{2}}6}=8+4{{\log }_{6}}2-4{{\log }_{6}}2=8\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найдите значение выражения

    \[ \frac{{{\log }_{16}}49}{{{\log }_{2}}7} \]

Решение Заметим, что основание логарифма, стоящего в числителе дроби, можно представить как {{2}^{4}} , а подлогарифмическая функция есть полными квадратами числа. Поэтому перепишем числитель следующим образом:

    \[\frac{{{\log }_{16}}49}{{{\log }_{2}}7}=\frac{{{\log }_{{{2}^{4}}}}{{7}^{2}}}{{{\log }_{2}}7}\]

Вынесем показатели степени за логарифм:

    \[\frac{{{\log }_{16}}49}{{{\log }_{2}}7}=\frac{{{\log }_{{{2}^{4}}}}{{7}^{2}}}{{{\log }_{2}}7}=\frac{\frac{1}{4}\cdot 2\cdot {{\log }_{2}}7}{{{\log }_{2}}7}=\frac{1}{2}\cdot \frac{{{\log }_{2}}7}{{{\log }_{2}}7}=\frac{1}{2}\]

Ответ