Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Свойства неравенств

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Неравенство – это соотношение между числами или величинами, указывающее какое из них больше или меньше.

Соотношения задаются знаками < , > и \ge, \le

Неравенства отношений >, < называют строгими, неравенства \ge, \le называют нестрогими.

В неравенства могут сравниваться числа – это числовые неравенства, также неравенство может зависеть от переменной, например, сравнение функций f(x) и g(x). Неравенства с переменной могут быть линейными, дробно-линейными, квадратными, логарифмическими, показательными, тригонометрическими и т.д.

Неравенства, содержащие два знака отношения, называются двойными неравенствами.

Пример. 5<x\le 6

Решением неравенства называется отыскание всех значений переменной, при котором данное неравенство верно.

Свойства неравенств

  1. К обеим частям неравенства можно прибавить или отнять любое выражение:

        \[f(x)>g(x) \Rightarrow  f(x)+h(x)>g(x)+h(x)\]

  2. Неравенства одного знака можно почленно складывать

        \[\begin{matrix}  & f(x)>g(x) \\  & p(x)>h(x) \\  \end{matrix} \Rightarrow  f(x)+p(x)>g(x)+h(x)\]

  3. Неравенства разных знаков можно почленно вычитать:

        \[\begin{matrix}  & f(x)>g(x) \\  & p(x)<h(x) \\  \end{matrix} \Rightarrow f(x)-p(x)>g(x)-h(x) \]

  4. Обе части неравенства можно умножать или делить на одно и тоже положительное число:

        \[f(x)>g(x) \Rightarrow  a\cdot f(x)>a\cdot g(x),\ a>0\]

  5. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число, то при этом изменится знак неравенства на противоположный:

        \[f(x)>g(x) \Rightarrow  a\cdot f(x)<a\cdot g(x),\ a<0\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти все значения x, при которых неравенство 3\cdot (6-x)>2\cdot (3x+2)+5 справедливо.
Решение В заданном неравенстве раскроем скобки и приведем подобные:

    \[18-3x>6x+4+5\Leftrightarrow 18-3x>6x+9\]

Слагаемые с x перенесем в левую часть, а остальные в правую:

    \[-3x-6x>9-18\]

или

    \[-9x>-9\]

Разделим обе части неравенства на (-9), при этом знак неравенства поменяется на противоположный:

    \[x<1\]

т.е. x\in (-\infty ,1).

Ответ x\in (-\infty ,1)
ПРИМЕР 2
Задание Одна сторона прямоугольника на 5 см больше другой. Какой может быть эта сторона, если площадь прямоугольника меньше 36 см ^{2}.
Решение Обозначим первую сторону прямоугольника через x см (x>0), тогда вторая сторона равна (x-5) см (x-5>0). Площадь этого прямоугольника равна x(x-5) см ^{2}

Из условия задачи составим неравенство

    \[x(x-5)<36\]

Решим неравенство

    \[x^2-5x-36<0\]

или

    \[(x+4)(x-9)<0\]

    \[x\in(-4;9)\]

Из того, что x>0 и x-5>0 следует, что x \in (5;9) .

Ответ x \in (5;9)