Свойства неравенств

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Неравенство – это соотношение между числами или величинами, указывающее какое из них больше или меньше.

Соотношения задаются знаками $< , >$ и $\ge$ , $\le$

Неравенства отношений $>, <$ называют строгими, неравенства $\ge$ , $\le$ называют нестрогими.

В неравенства могут сравниваться числа – это числовые неравенства, также неравенство может зависеть от переменной, например, сравнение функций $f(x)$ и $g(x)$ . Неравенства с переменной могут быть линейными, дробно-линейными, квадратными, логарифмическими, показательными, тригонометрическими и т.д.

Неравенства, содержащие два знака отношения, называются двойными неравенствами.

Пример. $5<x\le 6$

Решением неравенства называется отыскание всех значений переменной, при котором данное неравенство верно.

Свойства неравенств

К обеим частям неравенства можно прибавить или отнять любое выражение:
$f(x)>g(x) \Rightarrow f(x)+h(x)>g(x)+h(x)$
Неравенства одного знака можно почленно складывать
$\begin{matrix} & f(x)>g(x) \\ & p(x)>h(x) \\ \end{matrix} \Rightarrow f(x)+p(x)>g(x)+h(x)$
Неравенства разных знаков можно почленно вычитать:
$\begin{matrix} & f(x)>g(x) \\ & p(x)<h(x) \\ \end{matrix} \Rightarrow f(x)-p(x)>g(x)-h(x)$
Обе части неравенства можно умножать или делить на одно и тоже положительное число:
$f(x)>g(x) \Rightarrow a\cdot f(x)>a\cdot g(x),\ a>0$
Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число, то при этом изменится знак неравенства на противоположный:
$f(x)>g(x) \Rightarrow a\cdot f(x)<a\cdot g(x),\ a<0$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Найти все значения $x$ , при которых неравенство $3\cdot (6-x)>2\cdot (3x+2)+5$ справедливо.

Решение

В заданном неравенстве раскроем скобки и приведем подобные:

$18-3x>6x+4+5\Leftrightarrow 18-3x>6x+9$

Слагаемые с $x$ перенесем в левую часть, а остальные в правую:

$-3x-6x>9-18$

или

$-9x>-9$

Разделим обе части неравенства на ( $-9$ ), при этом знак неравенства поменяется на противоположный:

$x<1$

т.е. $x\in (-\infty ,1)$ .

Ответ

$x\in (-\infty ,1)$

ПРИМЕР 2

Задание

Одна сторона прямоугольника на 5 см больше другой. Какой может быть эта сторона, если площадь прямоугольника меньше 36 см $^{2}$ .

Решение

Обозначим первую сторону прямоугольника через $x$ см $(x>0)$ , тогда вторая сторона равна $(x-5)$ см $(x-5>0)$ . Площадь этого прямоугольника равна $x(x-5)$ см $^{2}$

Из условия задачи составим неравенство

$x(x-5)<36$