Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Матрицы: основные понятия и определения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. Элементы матрицы можно занумеровать, тогда элемент матрицы {{a}_{ij}} будет находиться на пересечении i-той строки и j-того столбца. Матрица, состоящая из m строк и n столбцов, имеет вид

    \[\left( \begin{matrix}  a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\  a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\  \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\  a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\ \end{matrix} \right)\]

При этом говорят, что эта матрица имеет размер  m\times n .

Способы обозначения матриц

Матрицы обозначают:

  • круглыми скобками или двойными вертикальными линиями
  •     \[\left( \begin{matrix}  1 & 2 & 1 \\  0 & 4 & 2 \\  -1 & 3 & 1 \\ \end{matrix} \right)\]

    или

        \[\left\| \begin{matrix}  1 & 2 & 1 \\  0 & 4 & 2 \\  -1 & 3 & 1 \\ \end{matrix} \right\|\]

  • большими буквами A ,\ B ,\ C .
  • сокращенно A=\left\| {{a}_{ij}} \right\| , \left( i=1,2,\ldots ,m;\ i=1,2,\ldots ,n \right) или A={{\left\| {{a}_{ij}} \right\|}_{m\times n}} .

Виды матриц

В зависимости от размера матрицы, вида и размещения элементов выделяют такие виды матриц:

  • если число строк и столбцов в матрице совпадает и равно n , то такая матрица называется квадратной порядка n;
  •     \[A=\left( \begin{matrix}  2 & -1 \\  0 & 3 \\ \end{matrix} \right)\]

  • если число строк не совпадает с числом столбцов, то матрица называется прямоугольной;
  •     \[B=\left( \begin{matrix}  1 & 4 \\  -1 & 0 \\ \end{matrix}\quad \begin{matrix}  3 \\  -2 \\ \end{matrix} \right)\]

  • если матрица состоит из одной строки, то её называют вектор-строка;
  •     \[C=\left( \begin{matrix}  -1 & 0 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \right)\]

  • если матрица состоит из одного столбца, то её называют вектор-столбец;
  •     \[D=\left( \begin{matrix}  1 \\  2 \\  0 \\ \end{matrix} \right)\]

  • матрицу размером 1\times 1 называют скаляром;
  •     \[K=\left( 5 \right)\]

  • если все элементы квадратной матрицы, кроме элементов {{a}_{ii}} , стоящих на главной диагонали, равны нулю, то такая матрица называется диагональной:
  •     \[M=\left( \begin{matrix}  -1 & 0 & 0 \\  0 & 4 & 0 \\  0 & 0 & 2 \\ \end{matrix} \right)\]

  • диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали – единицы, называется единичной и обозначается буквой E
  •     \[E=\left( \begin{matrix}  1 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\]

  • если все элементы матрицы нули, то её называют нулевой матрицей;
  • квадратная матрица, в которой все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю, называется треугольной. Если нули расположены ниже главной диагонали, то матрица верхнетреугольная, а если выше – нижнетреугольная.

Равные матрицы

Две матрицы A и B равны, если

  1. обе они имеют одинаковый размер;
  2. их соответствующие элементы равны.