Матрицы: основные понятия и определения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. Элементы матрицы можно занумеровать, тогда элемент матрицы ${{a}_{ij}}$ будет находиться на пересечении $i$ -той строки и $j$ -того столбца. Матрица, состоящая из $m$ строк и $n$ столбцов, имеет вид

$\left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\ \end{matrix} \right)$

При этом говорят, что эта матрица имеет размер $m\times n$ .

Способы обозначения матриц

Матрицы обозначают:

круглыми скобками или двойными вертикальными линиями

$\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

$\left\| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{matrix} \right\|$

большими буквами $A ,\ B ,\ C .$
сокращенно $A=\left\| {{a}_{ij}} \right\| ,$ $\left( i=1,2,\ldots ,m;\ i=1,2,\ldots ,n \right)$ или $A={{\left\| {{a}_{ij}} \right\|}_{m\times n}} .$

Виды матриц

В зависимости от размера матрицы, вида и размещения элементов выделяют такие виды матриц:

если число строк и столбцов в матрице совпадает и равно $n ,$ то такая матрица называется квадратной порядка $n$ ;

$A=\left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \\ \end{matrix} \right)$

если число строк не совпадает с числом столбцов, то матрица называется прямоугольной;

$B=\left( \begin{matrix} 1 & 4 \\ -1 & 0 \\ \end{matrix}\quad \begin{matrix} 3 \\ -2 \\ \end{matrix} \right)$

если матрица состоит из одной строки, то её называют вектор-строка;

$C=\left( \begin{matrix} -1 & 0 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

если матрица состоит из одного столбца, то её называют вектор-столбец;

$D=\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ \end{matrix} \right)$

матрицу размером $1\times 1$ называют скаляром;

$K=\left( 5 \right)$

если все элементы квадратной матрицы, кроме элементов ${{a}_{ii}} ,$ стоящих на главной диагонали, равны нулю, то такая матрица называется диагональной:

$M=\left( \begin{matrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{matrix} \right)$

диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали – единицы, называется единичной и обозначается буквой $E$

$E=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

если все элементы матрицы нули, то её называют нулевой матрицей;
квадратная матрица, в которой все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю, называется треугольной. Если нули расположены ниже главной диагонали, то матрица верхнетреугольная, а если выше – нижнетреугольная.

Равные матрицы

Две матрицы $A$ и $B$ равны, если

обе они имеют одинаковый размер;
их соответствующие элементы равны.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Матрицы: основные понятия и определения

Способы обозначения матриц

Виды матриц

Равные матрицы