Внесение под знак дифференциала

При сведении заданного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала как операция «подведения под знак дифференциала». При этом используется формула:

${f}'\left( x \right)dx=d\left( f\left( x \right) \right)$

Вообще говоря, внесение (подведение) под знак дифференциала и замена переменной (метод подстановки) – это один и тот же метод нахождения неопределенного интеграла; отличие состоит только в оформлении.

Суть метода

Итак, внесение под знак интеграла опирается на следующее правило интегрирования. Если в произведении функции, стоящей под знаком интеграла, и дифференциала можно увидеть произведение другой функции и дифференциала от нее, то применяем подведение под знак дифференциала, то есть если

$\begin{cases} \int{f\left( \phi \left( x \right) \right)\cdot {\phi }'\left( x \right)dx} \\ u=\phi \left( x \right) \\ \end{cases} \right.\Rightarrow \int{f\left( \phi \left( x \right) \right)\cdot {\phi }'\left( x \right)dx}=\int{f\left( u \right)du}$

При внесении под знак дифференциала необходимо иметь в виду простейшие преобразования дифференциала:

Очень часто метод внесения под знак дифференциала используют для нахождения интегралов вида

$\int{f\left( kx+b \right)dx}=\frac{1}{k}\int{f\left( kx+b \right)d\left( kx+b \right)}=\frac{1}{k}F\left( kx+b \right)+C$

Поэтому имеют место следующие формулы для неопределенных интегралов:

Примеры внесения под знак дифференциала

ПРИМЕР 1

Задание	Найти интеграл $\int{\frac{dx}{x-4}}$
Решение	Внесем выражение, стоящее в знаменателе, под знак дифференциала: $\int{\frac{dx}{x-4}}=\int{\frac{d\left( x-4 \right)}{x-4}}=\ln \left\| x-4 \right\|+C$
Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Решить интеграл $\int{{{\left( 2x+3 \right)}^{17}}dx}$

Решение

Внесем основание степени под дифференциал:

$\int{{{\left( 2x+3 \right)}^{17}}dx}=\int{{{\left( 2x+3 \right)}^{17}}\cdot \frac{1}{2}d\left( 2x+3 \right)}=\frac{1}{2}\int{{{\left( 2x+3 \right)}^{17}}d\left( 2x+3 \right)}=$

$=\frac{1}{2}\cdot \frac{{{\left( 2x+3 \right)}^{18}}}{18}+C=\frac{{{\left( 2x+3 \right)}^{18}}}{36}+C$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Внесение под знак дифференциала

Суть метода

Примеры внесения под знак дифференциала