Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Внесение под знак дифференциала

При сведении заданного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала как операция «подведения под знак дифференциала». При этом используется формула:

    \[{f}'\left( x \right)dx=d\left( f\left( x \right) \right)\]

Вообще говоря, внесение (подведение) под знак дифференциала и замена переменной (метод подстановки) – это один и тот же метод нахождения неопределенного интеграла; отличие состоит только в оформлении.

Суть метода

Итак, внесение под знак интеграла опирается на следующее правило интегрирования. Если в произведении функции, стоящей под знаком интеграла, и дифференциала можно увидеть произведение другой функции и дифференциала от нее, то применяем подведение под знак дифференциала, то есть если

    \[\begin{cases}   \int{f\left( \phi \left( x \right) \right)\cdot {\phi }'\left( x \right)dx} \\   u=\phi \left( x \right) \\  \end{cases} \right.\Rightarrow \int{f\left( \phi \left( x \right) \right)\cdot {\phi }'\left( x \right)dx}=\int{f\left( u \right)du}\]

При внесении под знак дифференциала необходимо иметь в виду простейшие преобразования дифференциала:

Очень часто метод внесения под знак дифференциала используют для нахождения интегралов вида

    \[\int{f\left( kx+b \right)dx}=\frac{1}{k}\int{f\left( kx+b \right)d\left( kx+b \right)}=\frac{1}{k}F\left( kx+b \right)+C\]

Поэтому имеют место следующие формулы для неопределенных интегралов:

Примеры внесения под знак дифференциала

ПРИМЕР 1
Задание Найти интеграл

    \[\int{\frac{dx}{x-4}}\]

Решение Внесем выражение, стоящее в знаменателе, под знак дифференциала:

    \[\int{\frac{dx}{x-4}}=\int{\frac{d\left( x-4 \right)}{x-4}}=\ln \left| x-4 \right|+C\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Решить интеграл \int{{{\left( 2x+3 \right)}^{17}}dx}
Решение Внесем основание степени под дифференциал:

    \[\int{{{\left( 2x+3 \right)}^{17}}dx}=\int{{{\left( 2x+3 \right)}^{17}}\cdot \frac{1}{2}d\left( 2x+3 \right)}=\frac{1}{2}\int{{{\left( 2x+3 \right)}^{17}}d\left( 2x+3 \right)}=\]

    \[=\frac{1}{2}\cdot \frac{{{\left( 2x+3 \right)}^{18}}}{18}+C=\frac{{{\left( 2x+3 \right)}^{18}}}{36}+C\]

Ответ