Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям – один из способов нахождения интеграла. Суть метода состоит в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных функций в месте со своей производной (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией элементарных), то справедлива следующая формула:

    \[ \int{udv}=uv-\int{vdu} \]

которая называется формулой интегрирования по частям.

ЗАМЕЧАНИЕ
Предполагается, что нахождение интеграла \int{vdu} проще, чем интеграла \int{udv}. В противном случае применение метода неоправданно.

Доказательство формулы интегрирования по частям

Доказательство. Для дифференциала произведения двух непрерывных вместе со своими производными функций имеет место равенство:

    \[d\left( uv \right)=vdu+udv\]

Проинтегрируем последнее равенство:

    \[\int{d\left( uv \right)}=\int{\left( vdu+udv \right)}\]

По свойствам интегралов имеем:

    \[uv=\int{vdu}+\int{udv}\]

Или, если переписать в ином виде, имеем:

    \[\int{udv}=uv-\int{vdu}\]

Что и требовалось доказать.

ЗАМЕЧАНИЕ
Последнее равенство справедливо с точностью до константы, возникающей во время интегрирования.

Итак, интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей u и dv (это зачастую можно осуществить несколькими способами); затем, после нахождения v (находится из dv интегрированием) и du (дифференцируют выражение для u), используется формула интегрирования по частям.

ЗАМЕЧАНИЕ
При нахождении функции v интегрированием выражения dv, константу C можно считать равной нулю.
ЗАМЕЧАНИЕ
Иногда для решения сложных интегралов формулу интегрирования по частям приходится использовать несколько раз.

Для каких типов интегралов используют формулу

Некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.

  1. Интегралы вида \int{f\left( x \right){{e}^{kx+b}}dx}, \int{f\left( x \right)\sin \left( kx+b \right)dx}, \int{f\left( x \right)\cos \left( kx+b \right)dx}.

    Здесь f\left( x \right) – многочлен. В данном случае u=f\left( x \right), а в качестве dv взять все остальные сомножители в подынтегральной функции.

  2. Интегралы вида \int{f\left( x \right)\arcsin xdx}, \int{f\left( x \right)\arccos dx}, \int{f\left( x \right)\,\text{arctg}\ xdx}, \int{f\left( x \right)\,\text{arcctg}\ xdx}, \int{f\left( x \right)\ln dx}.

    Здесь нужно взять dv=f\left( x \right)dx, а тогда u – все остальные сомножители.

  3. Интегралы вида \int{{{e}^{ax}}\sin \left( kx+b \right)dx}, \int{{{e}^{ax}}\cos \left( kx+b \right)dx}.

    За u можно принять функцию u={{e}^{ax}}.

ЗАМЕЧАНИЕ
В качестве u также можно взять тригонометрическую функцию.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти интеграл \int{x\ln xdx}
Решение В качестве u берем \ln x, все остальное – dv. То есть

    \[\int{x\ln xdx}\ \left\| \begin{matrix} 				   u=\ln x & dv=xdx  \\ 				   du=\frac{dx}{x} & v=\frac{{{x}^{2}}}{2}  \\ 				\end{matrix} \right\|=\ln x\cdot \frac{{{x}^{2}}}{2}-\int{\frac{{{x}^{2}}}{2}\cdot \frac{dx}{x}}=\frac{{{x}^{2}}\ln x}{2}-\frac{1}{2}\int{xdx}=\]

    \[=\frac{{{x}^{2}}\ln x}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{{{x}^{2}}}{2}+C=\frac{{{x}^{2}}\ln x}{2}-\frac{{{x}^{2}}}{4}+C\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Решить интеграл \int{{{e}^{3x}}\cos 3xdx}
Решение В качестве u в этом случае берем экспоненту, имеем:

    \[\int{{{e}^{3x}}\cos 3xdx}\ \left\| \begin{matrix} 				   u={{e}^{3x}} & dv=\cos 3xdx  \\ 				   du=3{{e}^{3x}}dx & v=\frac{\sin 3x}{3}  \\ 				\end{matrix} \right\|={{e}^{3x}}\cdot \frac{\sin 3x}{3}-\int{\frac{\sin 3x}{3}\cdot 3{{e}^{3x}}dx}=\]

    \[=\frac{{{e}^{3x}}\sin 3x}{3}-\int{{{e}^{3x}}\sin 3xdx}\]

Получили интеграл, который находится методом интегрирования по частям. Поэтому снова его применяем. Здесь опять в качестве u берем функцию {{e}^{3x}}:

    \[\underline{\int{{{e}^{3x}}\cos 3xdx}}=\frac{{{e}^{3x}}\sin 3x}{3}-\int{{{e}^{3x}}\sin 3xdx}\ \left\| \begin{matrix} 				   u={{e}^{3x}} & dv=\sin 3xdx  \\ 				   du=3{{e}^{3x}}dx & v=-\frac{\cos 3x}{3}  \\ 				\end{matrix} \right\|=\]

    \[=\frac{{{e}^{3x}}\sin 3x}{3}-\left( {{e}^{3x}}\cdot \left( -\frac{\cos 3x}{3} \right)-\int{\left( -\frac{\cos 3x}{3} \right)\cdot 3{{e}^{3x}}dx} \right)=\]

    \[=\underline{\frac{{{e}^{3x}}\sin 3x}{3}+\frac{{{e}^{3x}}\cos 3x}{3}-\int{{{e}^{3x}}\cos 3xdx}}\]

Итак, пришли к исходному интегралу. Запишем интегральное равенство (в последней серии формул подчеркнутые выражения):

    \[\int{{{e}^{3x}}\cos 3xdx}=\frac{{{e}^{3x}}\left( \sin 3x+\cos 3x \right)}{3}-\int{{{e}^{3x}}\cos 3xdx}+C\]

Решая записанное равенство относительно неизвестного интеграла, будем иметь:

    \[\int{{{e}^{3x}}\cos 3xdx}+\int{{{e}^{3x}}\cos 3xdx}=\frac{{{e}^{3x}}\left( \sin 3x+\cos 3x \right)}{3}\]

    \[2\int{{{e}^{3x}}\cos 3xdx}=\frac{{{e}^{3x}}\left( \sin 3x+\cos 3x \right)}{3}\]

Добавляем еще константу интегрирования и окончательно имеем:

    \[\int{{{e}^{3x}}\cos 3xdx}=\frac{{{e}^{3x}}\left( \sin 3x+\cos 3x \right)}{6}+C\]

Ответ