Интегрирование по частям
Интегрирование по частям – один из способов нахождения интеграла. Суть метода состоит в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных функций в месте со своей производной (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией элементарных), то справедлива следующая формула:
которая называется формулой интегрирования по частям.
Доказательство формулы интегрирования по частям
Доказательство. Для дифференциала произведения двух непрерывных вместе со своими производными функций имеет место равенство:
Проинтегрируем последнее равенство:
По свойствам интегралов имеем:
Или, если переписать в ином виде, имеем:
Что и требовалось доказать.
Итак, интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей и (это зачастую можно осуществить несколькими способами); затем, после нахождения (находится из интегрированием) и (дифференцируют выражение для ), используется формула интегрирования по частям.
Для каких типов интегралов используют формулу
Некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.
- Интегралы вида , , .
Здесь – многочлен. В данном случае , а в качестве взять все остальные сомножители в подынтегральной функции.
- Интегралы вида , , , , .
Здесь нужно взять , а тогда – все остальные сомножители.
- Интегралы вида , .
За можно принять функцию .
Примеры решения задач
Задание | Найти интеграл |
Решение | В качестве берем , все остальное – . То есть
|
Ответ |
Задание | Решить интеграл |
Решение | В качестве в этом случае берем экспоненту, имеем:
Получили интеграл, который находится методом интегрирования по частям. Поэтому снова его применяем. Здесь опять в качестве берем функцию :
Итак, пришли к исходному интегралу. Запишем интегральное равенство (в последней серии формул подчеркнутые выражения):
Решая записанное равенство относительно неизвестного интеграла, будем иметь:
Добавляем еще константу интегрирования и окончательно имеем:
|
Ответ |