Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры решения неопределенных интегралов

Теория про неопределенные интегралы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Неопределенным интегралом от функции f(x) на промежутке X называется совокупность всех первообразных этой функции на этом указанном промежутке. Обозначается

    \[    \int f(x) dx =F(x)+C \]

При нахождении неопределенных интегралов подынтегральную функцию сводят к одной из табличных функций. Если подынтегральная функция f(x) не может быть непосредственно преобразована к одной из табличных функций, то можно использовать метод внесения под дифференциал, метод замены переменной или интегрирование по частям.

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Найти неопределенный интеграл

    \[    \int \left( 6x^{7}+4 \sqrt[5]{x^{3}} + \frac{3}{x^{4}} +1 \right) dx \]

Решение Используя свойство интегралов, заменим интеграл суммы суммой интегралов и вынесем коэффициенты за знак интеграла:

    \[    \int \left( 6x^{7}+4 \sqrt[5]{x^{3}} + \frac{3}{x^{4}} +1 \right) dx = 6 \int x^{7} dx + 4 \int \sqrt[5]{x^{3}} dx + 3 \int \frac{dx}{x^{4}} + \int dx \]

Далее преобразуем степени переменных:

    \[    \int \left( 6x^{7}+4 \sqrt[5]{x^{3}} + \frac{3}{x^{4}} +1 \right) dx = 6 \int x^{7} dx + 4 \int x^{\frac{3}{5}} dx + 3 \int x^{-4} dx + \int dx \]

Применяя таблицу интегралов, получим:

    \[    \int \left( 6x^{7}+4 \sqrt[5]{x^{3}} + \frac{3}{x^{4}} +1 \right) dx = 6 \int x^{7} dx + 4 \int x^{\frac{3}{5}} dx + 3 \int x^{-4} dx + \int dx =  \]

    \[    = 6 \cdot \frac{x^{7+1}}{7+1} + 4 \cdot \frac{x^{\frac{3}{5}+1}}{\frac{3}{5}+1} + 3 \cdot \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + x + C = \frac{6 \cdot x^{8}}{8} + \frac{4 \cdot x^{\frac{8}{5}}}{\frac{8}{5}} + \frac{3 \cdot x^{-3}}{-3}+x+C= \]

    \[    = \frac{3}{4}x^{8} + \frac{5}{2} \sqrt[5]{x^{8}} - \frac{1}{x^{3}}+x+C \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти неопределенный интеграл

    \[    \int \frac{2x^{2}+1}{x^{2}(x^{2}+1)} dx \]

Решение Преобразуем сумму в числителе следующим образом:

    \[    \int \frac{2x^{2}+1}{x^{2}(x^{2}+1)} dx = \int \frac{x^{2}+(x^{2}+1)}{x^{2}(x^{2}+1)} dx \]

Разобьем последний интеграл на сумму двух интегралов, разделив почленно числитель на знаменатель:

    \[    \int \frac{2x^{2}+1}{x^{2}(x^{2}+1)} dx = \int \frac{x^{2}}{x^{2}(x^{2}+1)} dx + \int \frac{x^{2}+1}{x^{2}(x^{2}+1)} dx =  \]

    \[    = \int \frac{dx}{x^{2}+1} + \int \frac{dx}{x^{2}} = \int \frac{dx}{x^{2}+1} + \int x^{-2} dx \]

Последние два интеграла являются табличными, а тогда будем иметь:

    \[    \int \frac{2x^{2}+1}{x^{2}(x^{2}+1)} dx = \int \frac{dx}{x^{2}+1} + \int x^{-2} dx = \text{arctg } x + \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \text{arctg } x - \frac{1}{x} + C \]

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Найти неопределенный интеграл

    \[    \int 2^{x} \cdot 3^{2x} dx \]

Решение Вынесем общую степень x за скобки

    \[    \int 2^{x} \cdot 3^{2x} dx = \int \left( 2 \cdot 3^{2} \right)^{x} dx = \int \left( 2 \cdot 9 \right)^{x} dx = \int 18^{x} dx \]

Последний интеграл является табличным интегралом от показательной функции и равен

    \[    \int 2^{x} \cdot 3^{2x} dx = \int 18^{x} dx = \frac{18^{x}}{\ln 18} + C \]

Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Найти неопределенный интеграл

    \[    \int (2x+1)^{4} dx \]

Решение Данный интеграл не выражается в табличных функциях, но если рассмотреть вместо переменной выражение 2x+1, то подынтегральную функцию можно рассматривать как степенную. Поэтому для нахождения заданного интеграла будем использовать метод внесения под дифференциал. Внесем под дифференциал выражение 2x+1, тогда

    \[    d(2x+1)=2 dx \text{ } \Rightarrow \text{ } dx = \frac{d(2x+1)}{2} \]

    \[    \int (2x+1)^{4} dx = \frac{1}{2} \int (2x+1)^{4} d(2x+1) \]

Рассматривая последний интеграл как интеграл от степенной функции, будем иметь:

    \[    \int (2x+1)^{4} dx = \frac{1}{2} \int (2x+1)^{4} d(2x+1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+1)^{4+1}}{4+1} + C = \frac{(2x+1)^{5}}{10} + C \]

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Найти неопределенный интеграл

    \[    \int x e^{-x^{2}}dx \]

Решение Заданный интеграл нельзя преобразовать элементарными преобразования к табличному интегралу. Для его нахождения воспользуемся методом замены переменной. Введем замену -x^{2}=t, тогда

    \[    -2x dx = dt \text{ } \Rightarrow \text{ } x dx = -\frac{dt}{2} \]

Подставляя, введенную замену, в исходный интеграл получим:

    \[    \int x e^{-x^{2}}dx = -\frac{1}{2} \int e^{t} dt = -\frac{1}{2}e^{t} + C \]

Сделаем обратную замену t=-x^{2} :

    \[    \int x e^{-x^{2}}dx = -\frac{1}{2}e^{t} + C = -\frac{1}{2}e^{-x^{2}} + C \]

Ответ