Примеры решения неопределенных интегралов

Теория про неопределенные интегралы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Неопределенным интегралом от функции $f(x)$ на промежутке $X$ называется совокупность всех первообразных этой функции на этом указанном промежутке. Обозначается

$\int f(x) dx =F(x)+C$

При нахождении неопределенных интегралов подынтегральную функцию сводят к одной из табличных функций. Если подынтегральная функция $f(x)$ не может быть непосредственно преобразована к одной из табличных функций, то можно использовать метод внесения под дифференциал, метод замены переменной или интегрирование по частям.

Примеры

ПРИМЕР 1

Задание

Найти неопределенный интеграл

$\int \left( 6x^{7}+4 \sqrt[5]{x^{3}} + \frac{3}{x^{4}} +1 \right) dx$

Решение

Используя свойство интегралов, заменим интеграл суммы суммой интегралов и вынесем коэффициенты за знак интеграла:

$\int \left( 6x^{7}+4 \sqrt[5]{x^{3}} + \frac{3}{x^{4}} +1 \right) dx = 6 \int x^{7} dx + 4 \int \sqrt[5]{x^{3}} dx + 3 \int \frac{dx}{x^{4}} + \int dx$

Далее преобразуем степени переменных:

$\int \left( 6x^{7}+4 \sqrt[5]{x^{3}} + \frac{3}{x^{4}} +1 \right) dx = 6 \int x^{7} dx + 4 \int x^{\frac{3}{5}} dx + 3 \int x^{-4} dx + \int dx$

Применяя таблицу интегралов, получим:

$\int \left( 6x^{7}+4 \sqrt[5]{x^{3}} + \frac{3}{x^{4}} +1 \right) dx = 6 \int x^{7} dx + 4 \int x^{\frac{3}{5}} dx + 3 \int x^{-4} dx + \int dx =$

$= 6 \cdot \frac{x^{7+1}}{7+1} + 4 \cdot \frac{x^{\frac{3}{5}+1}}{\frac{3}{5}+1} + 3 \cdot \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + x + C = \frac{6 \cdot x^{8}}{8} + \frac{4 \cdot x^{\frac{8}{5}}}{\frac{8}{5}} + \frac{3 \cdot x^{-3}}{-3}+x+C=$

$= \frac{3}{4}x^{8} + \frac{5}{2} \sqrt[5]{x^{8}} - \frac{1}{x^{3}}+x+C$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Найти неопределенный интеграл

$\int \frac{2x^{2}+1}{x^{2}(x^{2}+1)} dx$

Решение

Преобразуем сумму в числителе следующим образом:

$\int \frac{2x^{2}+1}{x^{2}(x^{2}+1)} dx = \int \frac{x^{2}+(x^{2}+1)}{x^{2}(x^{2}+1)} dx$

Разобьем последний интеграл на сумму двух интегралов, разделив почленно числитель на знаменатель:

$\int \frac{2x^{2}+1}{x^{2}(x^{2}+1)} dx = \int \frac{x^{2}}{x^{2}(x^{2}+1)} dx + \int \frac{x^{2}+1}{x^{2}(x^{2}+1)} dx =$

$= \int \frac{dx}{x^{2}+1} + \int \frac{dx}{x^{2}} = \int \frac{dx}{x^{2}+1} + \int x^{-2} dx$

Последние два интеграла являются табличными, а тогда будем иметь:

$\int \frac{2x^{2}+1}{x^{2}(x^{2}+1)} dx = \int \frac{dx}{x^{2}+1} + \int x^{-2} dx = \text{arctg } x + \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \text{arctg } x - \frac{1}{x} + C$

Ответ

ПРИМЕР 3

Задание

Найти неопределенный интеграл

$\int 2^{x} \cdot 3^{2x} dx$

Решение

Вынесем общую степень $x$ за скобки

$\int 2^{x} \cdot 3^{2x} dx = \int \left( 2 \cdot 3^{2} \right)^{x} dx = \int \left( 2 \cdot 9 \right)^{x} dx = \int 18^{x} dx$

Последний интеграл является табличным интегралом от показательной функции и равен

$\int 2^{x} \cdot 3^{2x} dx = \int 18^{x} dx = \frac{18^{x}}{\ln 18} + C$

Ответ

ПРИМЕР 4

Задание

Найти неопределенный интеграл

$\int (2x+1)^{4} dx$

Решение

Данный интеграл не выражается в табличных функциях, но если рассмотреть вместо переменной выражение $2x+1$ , то подынтегральную функцию можно рассматривать как степенную. Поэтому для нахождения заданного интеграла будем использовать метод внесения под дифференциал. Внесем под дифференциал выражение $2x+1$ , тогда

$d(2x+1)=2 dx \text{ } \Rightarrow \text{ } dx = \frac{d(2x+1)}{2}$

$\int (2x+1)^{4} dx = \frac{1}{2} \int (2x+1)^{4} d(2x+1)$

Рассматривая последний интеграл как интеграл от степенной функции, будем иметь:

$\int (2x+1)^{4} dx = \frac{1}{2} \int (2x+1)^{4} d(2x+1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+1)^{4+1}}{4+1} + C = \frac{(2x+1)^{5}}{10} + C$

Ответ

ПРИМЕР 5

Задание

Найти неопределенный интеграл

$\int x e^{-x^{2}}dx$

Решение

Заданный интеграл нельзя преобразовать элементарными преобразования к табличному интегралу. Для его нахождения воспользуемся методом замены переменной. Введем замену $-x^{2}=t$ , тогда

$-2x dx = dt \text{ } \Rightarrow \text{ } x dx = -\frac{dt}{2}$

Подставляя, введенную замену, в исходный интеграл получим:

$\int x e^{-x^{2}}dx = -\frac{1}{2} \int e^{t} dt = -\frac{1}{2}e^{t} + C$

Сделаем обратную замену $t=-x^{2}$ :

$\int x e^{-x^{2}}dx = -\frac{1}{2}e^{t} + C = -\frac{1}{2}e^{-x^{2}} + C$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Примеры решения неопределенных интегралов

Теория про неопределенные интегралы

Примеры