Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры решения определенных интегралов

Определенный интеграл от функции f(x) на промежутке [a, b] обозначается \int _{a}^{b} f(x)dx и равен разности двух значений первообразной функции, вычисленных при x=a и x=b (формула Ньютона-Лейбница):

    \[    \int _{a}^{b} f(x)dx = F(b)-F(a) \]

Геометрический смысл определенного интеграла. Определенный интеграл \int _{a}^{b} f(x)dx есть площадь криволинейной трапеции ограниченной графиком функции f(x), осью Ox и прямыми x=a и x=b (рис. 1), то есть

    \[    S = \int _{a}^{b} f(x)dx \]

Для вычисления определенных интегралов подходят все методы, которые используются для нахождения неопределенных интегралов.

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Вычислить интеграл

    \[    \int _{1}^{4} \left( 2x+\frac{3}{\sqrt{x}} \right) dx \]

Решение Преобразуем подынтегральное выражение

    \[    \int _{1}^{4} \left( 2x+\frac{3}{\sqrt{x}} \right) dx = \int _{1}^{4} \left( 2x+ 3 x^{-\frac{1}{2}} \right) dx \]

Разобьем интеграл от суммы на сумму интегралов и вынесем за знак интеграла константы:

    \[    \int _{1}^{4} \left( 2x+\frac{3}{\sqrt{x}} \right) dx = \int _{1}^{4} \left( 2x+ 3 x^{-\frac{1}{2}} \right) dx = 2 \int _{1}^{4} x dx + 3 \int _{1}^{4} x^{-\frac{1}{2}} dx \]

Полученные интегралы являются табличными, вычислим их:

    \[    \int _{1}^{4} \left( 2x+\frac{3}{\sqrt{x}} \right) dx = 2 \int _{1}^{4} x dx + 3 \int _{1}^{4} x^{-\frac{1}{2}} dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} \bigg| _{1}^{4} + 3 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} \bigg| _{1}^{4} =  \]

    \[    = 2 \cdot \frac{x^{2}}{2} \bigg| _{1}^{4} + 3 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \bigg| _{1}^{4} = x^{2} \bigg| _{1}^{4} + 6 \sqrt{x} \bigg| _{1}^{4} = (4^{2}-1^{2}) + 6 (\sqrt{4}-\sqrt{1}) = \]

    \[    = (16-1)+ 6 \cdot (2-1) = 15+6=21 \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Вычислить интеграл

    \[    \int _{1}^{e} \frac{2}{x} dx \]

Решение Вынесем константу за знак интеграла и вычислим полученный табличный интеграл:

    \[    \int _{1}^{e} \frac{2}{x} dx = 2 \int _{1}^{e} \frac{dx}{x} = 2 \ln |x| \bigg| _{1}^{e} = 2 ( \ln e - \ln 1) = 2 (1-0)=2 \]

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Вычислить интеграл

    \[    \int _{0}^{\pi} \sin \frac{x}{2} dx \]

Решение Сделаем замену \frac{x}{2} = t \text{ } \Rightarrow \text{ } x=2t \text{ } \Rightarrow \text{ }dx = 2 dt, при этом пределы интегрирования изменятся: t_{1}=0 и t_{2}=\frac{\pi}{2} . Подставляя все это в исходный интеграл, получим:

    \[    \int _{0}^{\pi} \sin \frac{x}{2} dx = \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t \cdot 2 dt = 2 \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t dt = 2 (- \cos t) \bigg| _{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2 \left( -\cos \frac{\pi}{2} - (-\cos 0) \right) = \]

    \[    = 2 (0+1)=2 \]

Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Вычислить интеграл

    \[    \int _{0}^{1} (2x-1)^{6} dx \]

Решение Внесем 2x-1 под знак дифференциала, тогда

    \[    d(2x-1) = 2 dx \text{ } \Rightarrow \text{ } dx = \frac{d(2x-1)}{2} \]

Подставляя все в исходный интеграл, получим:

    \[    \int _{0}^{1} (2x-1)^{6} dx = \int _{0}^{1} (2x-1)^{6} \frac{d(2x-1)}{2} = \frac{1}{2} \int _{0}^{1} (2x-1)^{6} d(2x-1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x-1)^{7}}{7} \bigg| _{0}^{1} =  \]

    \[    = \frac{1}{14} \cdot \left( (2 \cdot 1 - 1)^{7} - (2 \cdot 0 -1)^{7} \right) = \frac{1}{14} (1+1) = \frac{1}{7} \]

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Вычислить площадь криволинейной трапеции ограниченной функцией f(x)=\sqrt{x}, осью Ox и прямыми x=1 и x=4 .
Решение Сделаем рисунок (рис. 2).

По геометрическому смыслу определенного интеграла нахождение площади заданной криволинейной трапеции сводится к вычислению интеграла

    \[    S = \int _{1}^{4} \sqrt{4} dx \]

Вычислим этот интеграл:

(кв. ед.)

Ответ