Примеры решения определенных интегралов

Определенный интеграл от функции $f(x)$ на промежутке $[a, b]$ обозначается $\int _{a}^{b} f(x)dx$ и равен разности двух значений первообразной функции, вычисленных при $x=a$ и $x=b$ (формула Ньютона-Лейбница):

$\int _{a}^{b} f(x)dx = F(b)-F(a)$

Геометрический смысл определенного интеграла. Определенный интеграл $\int _{a}^{b} f(x)dx$ есть площадь криволинейной трапеции ограниченной графиком функции $f(x)$ , осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$ (рис. 1), то есть

$S = \int _{a}^{b} f(x)dx$

Для вычисления определенных интегралов подходят все методы, которые используются для нахождения неопределенных интегралов.

Примеры

ПРИМЕР 1

Задание

Вычислить интеграл

$\int _{1}^{4} \left( 2x+\frac{3}{\sqrt{x}} \right) dx$

Решение

Преобразуем подынтегральное выражение

$\int _{1}^{4} \left( 2x+\frac{3}{\sqrt{x}} \right) dx = \int _{1}^{4} \left( 2x+ 3 x^{-\frac{1}{2}} \right) dx$

Разобьем интеграл от суммы на сумму интегралов и вынесем за знак интеграла константы:

$\int _{1}^{4} \left( 2x+\frac{3}{\sqrt{x}} \right) dx = \int _{1}^{4} \left( 2x+ 3 x^{-\frac{1}{2}} \right) dx = 2 \int _{1}^{4} x dx + 3 \int _{1}^{4} x^{-\frac{1}{2}} dx$

Полученные интегралы являются табличными, вычислим их:

$\int _{1}^{4} \left( 2x+\frac{3}{\sqrt{x}} \right) dx = 2 \int _{1}^{4} x dx + 3 \int _{1}^{4} x^{-\frac{1}{2}} dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} \bigg| _{1}^{4} + 3 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} \bigg| _{1}^{4} =$

$= 2 \cdot \frac{x^{2}}{2} \bigg| _{1}^{4} + 3 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \bigg| _{1}^{4} = x^{2} \bigg| _{1}^{4} + 6 \sqrt{x} \bigg| _{1}^{4} = (4^{2}-1^{2}) + 6 (\sqrt{4}-\sqrt{1}) =$

$= (16-1)+ 6 \cdot (2-1) = 15+6=21$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание	Вычислить интеграл $\int _{1}^{e} \frac{2}{x} dx$
Решение	Вынесем константу за знак интеграла и вычислим полученный табличный интеграл: $\int _{1}^{e} \frac{2}{x} dx = 2 \int _{1}^{e} \frac{dx}{x} = 2 \ln \|x\| \bigg\| _{1}^{e} = 2 ( \ln e - \ln 1) = 2 (1-0)=2$
Ответ

ПРИМЕР 3

Задание

Вычислить интеграл

$\int _{0}^{\pi} \sin \frac{x}{2} dx$

Решение

Сделаем замену $\frac{x}{2} = t \text{ } \Rightarrow \text{ } x=2t \text{ } \Rightarrow \text{ }dx = 2 dt$ , при этом пределы интегрирования изменятся: $t_{1}=0$ и $t_{2}=\frac{\pi}{2}$ . Подставляя все это в исходный интеграл, получим:

$\int _{0}^{\pi} \sin \frac{x}{2} dx = \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t \cdot 2 dt = 2 \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t dt = 2 (- \cos t) \bigg| _{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2 \left( -\cos \frac{\pi}{2} - (-\cos 0) \right) =$

$= 2 (0+1)=2$

Ответ

ПРИМЕР 4

Задание

Вычислить интеграл

$\int _{0}^{1} (2x-1)^{6} dx$

Решение

Внесем $2x-1$ под знак дифференциала, тогда

$d(2x-1) = 2 dx \text{ } \Rightarrow \text{ } dx = \frac{d(2x-1)}{2}$

Подставляя все в исходный интеграл, получим:

$\int _{0}^{1} (2x-1)^{6} dx = \int _{0}^{1} (2x-1)^{6} \frac{d(2x-1)}{2} = \frac{1}{2} \int _{0}^{1} (2x-1)^{6} d(2x-1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x-1)^{7}}{7} \bigg| _{0}^{1} =$