Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры решения сложных интегралов

При решении сложных интегралов зачастую есть необходимость применять не один, а несколько стандартных методов интегрирования и делать оригинальные замены переменных.

ПРИМЕР 1
Задание Вычислить интеграл

    \[    \int _{1}^{e^{3}} \frac{dx}{x \sqrt{1+\ln x}} \]

Решение Введем замену: 1+\ln x=t , тогда

    \[    \frac{dx}{x} = dt \]

Вычислим новые пределы интегрирования: если x=1 , то t=1+\ln 1=1+0=1 ; если x=e^{3} , то t=1+\ln e^{3} = 1+3=4 . Подставим все в исходный интеграл:

    \[    \int _{1}^{e^{3}} \frac{dx}{x \sqrt{1+\ln x}} = \int _{1}^{4} \frac{dt}{\sqrt{t}} = 2 \sqrt{t} \bigg| _{1}^{4} = 2 (\sqrt{4} - \sqrt{1}) = 2 \cdot (2-1) = 2 \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Решить сложный интеграл

    \[    \int \frac{2x^{2}+1}{x^{3}-2x^{2}+x} dx \]

Решение Разложим знаменатель на множители

    \[    x^{3}-2x^{2}+x = x (x^{2}-2x+1)=x(x-1)^{2} \]

Подынтегральное выражение представим в виде суммы элементарных дробей:

    \[    \frac{2x^{2}+1}{x^{3}-2x^{2}+x} = \frac{2x^{2}+1}{x(x-1)^{2}} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^{2}} \]

Приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю:

    \[    \frac{2x^{2}+1}{x(x-1)^{2}} = \frac{A (x-1)^{2} + Bx(x-1)+Cx}{x(x-1)^{2}} \]

Знаменатели этих дробей равны, приравняем их числители:

    \[    2x^{2}+1 = A (x^{2}-2x+1)+B(x^{2}-x)+Cx \]

Из последнего равенства найдем A, B и C , для этого приравняем коэффициенты при соответствующих степенях:

    \[ \left \begin{gathered} x^{2} \\ x^{1} \\ x^{0} \end{gathered} \right \left| \begin{gathered} A+B=2 \hfill \\ -2A-B+C=0 \\ A=1 \hfill \end{gathered} \right  \]

Решая эту систему, получим A=1 \text{ },\text{ } B=1 \text{ },\text{ } C=3 . Тогда исходный интеграл можно представить в виде

    \[    \int \frac{2x^{2}+1}{x^{3}-2x^{2}+x} dx = \int \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1}+\frac{3}{(x-1)^{2}} \right) dx = \int \frac{dx}{x} + \int \frac{dx}{x-1} + 3 \int \frac{dx}{(x-1)^{2}} \]

Во втором и третьем интегралом внесем x-1 под знак дифференциала

    \[    \int \frac{2x^{2}+1}{x^{3}-2x^{2}+x} dx = \int \frac{dx}{x} + \int \frac{dx}{x-1} + 3 \int \frac{dx}{(x-1)^{2}} =  \]

    \[    = \int \frac{dx}{x} + \int \frac{d(x-1)}{x-1} + 3 \int (x-1)^{-2} d(x-1) \]

Полученные интегралы являются табличными, найдем их:

    \[    \int \frac{2x^{2}+1}{x^{3}-2x^{2}+x} dx = \int \frac{dx}{x} + \int \frac{d(x-1)}{x-1} + 3 \int (x-1)^{-2} d(x-1) =  \]

    \[    = \ln |x| + \ln |x-1| - \frac{3}{x-1} + C \]

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Найти интеграл

    \[    \int \frac{x^{2}+3x+2}{x^{3}-1} dx \]

Решение Используя формулы сокращенного умножения, разложим в знаменателе разность кубов

    \[    \int \frac{x^{2}+3x+2}{x^{3}-1} dx = \int \frac{x^{2}+3x+2}{(x-1)(x^{2}+x+1)} dx \]

Далее разложим подынтегральное выражение на сумму элементарных дробей с неопределенными коэффициентами

    \[    \frac{x^{2}+3x+2}{x^{3}-1} = \frac{x^{2}+3x+2}{(x-1)(x^{2}+x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^{2}+x+1} \]

Приведем к общему знаменателю дроби в правой части последнего равенства и полученное выражение в числителе приравняем к числителю левой дроби:

    \[    x^{2}+3x+2 = A (x^{2}+x+1) + (Bx+C)(x-1) \]

    \[    x^{2}+3x+2 = A x^{2} + Ax + A + Bx^{2}+Cx -Bx-C \]

Для нахождения неизвестных коэффициентов A, B и C приравняем коэффициенты при соответствующих степенях:

    \[ \left \begin{gathered} x^{2} \\ x^{1} \\ x^{0} \end{gathered} \right \left| \begin{gathered} A+B=1 \hfill \\ A-B+C=3 \\ A-C=2 \hfill \end{gathered} \right  \]

Решая эту систему, получим A=2 \text{ },\text{ } B=-1 \text{ },\text{ } C=0 . Тогда исходный интеграл примет вид:

    \[    \int \frac{x^{2}+3x+2}{x^{3}-1} dx = \int \frac{x^{2}+3x+2}{(x-1)(x^{2}+x+1)} dx = 2 \int \frac{dx}{x-1} - \int \frac{x dx}{x^{2}+x+1} \]

В первом из полученных интегралов внесем под знак дифференциала (x-1) , а во втором (x^{2}+x+1) . Так как (x^{2}+x+1)' = 2x+1 , то умножим и разделим второй интеграл на 2 и прибавим и вычтем 1, получим:

    \[    \int \frac{x^{2}+3x+2}{x^{3}-1} dx = 2 \int \frac{dx}{x-1} - \int \frac{x dx}{x^{2}+x+1} = 2 \int \frac{d(x-1)}{x-1} - \frac{1}{2} \int \frac{(2x+1-1) dx}{x^{2}+x+1} =  \]

    \[    = 2 \int \frac{d(x-1)}{x-1} - \frac{1}{2} \int \frac{(2x+1) dx}{x^{2}+x+1} + \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x^{2}+x+1} =  \]

    \[    = 2 \int \frac{d(x-1)}{x-1} - \frac{1}{2} \int \frac{d(x^{2}+x+1)}{x^{2}+x+1} + \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x^{2}+x+1}   \]

Первые два из полученных интегралов, являются табличными, в третьем выделим в знаменателе полный квадрат:

    \[    \int \frac{x^{2}+3x+2}{x^{3}-1} dx = 2 \int \frac{d(x-1)}{x-1} - \frac{1}{2} \int \frac{d(x^{2}+x+1)}{x^{2}+x+1} + \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x^{2}+x+1} = \]

    \[    = 2 \ln |x-1| - \frac{1}{2} \ln |x^{2}+x+1| + \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\left( x + \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4}} \]

Далее внесем под дифференциал \left( x + \frac{1}{2} \right) и полученный интеграл будет табличным. Таким образом, окончательно получим:

    \[    \int \frac{dx}{\left( x + \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4}} = \int \frac{d \left( x + \frac{1}{2} \right)}{\left( x + \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \text{arctg } \frac{x + \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \text{arctg } \frac{2x + 1}{\sqrt{3}}} + C \]

    \[    \int \frac{x^{2}+3x+2}{x^{3}-1} dx = \ln (x-1)^{2} - \ln \sqrt{x^{2}+x+1} + \frac{1}{\sqrt{3}} \text{arctg } \frac{2x + 1}{\sqrt{3}}} + C \]

Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Найти сложный интеграл

    \[    \int \frac{dx}{2 \sin x + 3 \cos x + 3} \]

Решение Введем универсальную тригонометрическую замену \text{tg }\frac{x}{2}=t , тогда

    \[    \sin x = \frac{2t}{1+t^{2}} \text{ };\text{ } \cos x = \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \text{ };\text{ } dx = \frac{dt}{1+t^{2}} \]

Подставляя это все в исходный интеграл, получим

    \[    \int \frac{dx}{2 \sin x + 3 \cos x + 3} = \int \frac{\frac{dt}{1+t^{2}}}{2 \cdot \frac{2t}{1+t^{2}} + 3 \cdot \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} + 3} = 2 \int \frac{dt}{4t + 3 (1-t^{2})+3(1+t^{2})} =  \]

    \[    = 2 \int \frac{dt}{4t+3-3t^{2}+3+3t^{2}} = 2 \int \frac{dt}{4t+6} = \frac{2}{2} \int \frac{dt}{2t+3} = \int \frac{dt}{2t+3} \]

Внесем под знак дифференциала 2t+3 :

    \[    \int \frac{dx}{2 \sin x + 3 \cos x + 3} = \int \frac{dt}{2t+3} = \frac{1}{2} \int \frac{d(2t+3)}{2t+3} = \frac{1}{2} \ln |2t+3| + C \]

Делая обратную замену, окончательно получим:

    \[    \int \frac{dx}{2 \sin x + 3 \cos x + 3} = \frac{1}{2} \ln |2t+3| + C = \frac{1}{2} \ln \left| 2 \text{tg }\frac{x}{2} + 3 \right| + C \]

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Найти интеграл

    \[    \int \sqrt{\frac{1+x}{2-x}} dx \]

Решение Введем замен и выразим x :

    \[    \frac{1+x}{2-x} = t^{2} \]

    \[    2t^{2}-t^{2}x=1+x \text{ } \Rightarrow \text{ } t^{2}x+x=2t^{2}-1 \text{ } \Rightarrow \text{ }x (t^{2}+1) = 2t^{2}-1 \text{ } \Rightarrow \text{ } x = \frac{2t^{2}-1}{t^{2}+1} \]

Продифференцируем левую и правую части последнего равенства:

    \[    dx = \frac{4t(t^{2}+1) - 2t(2t^{2}-1)}{\left( t^{2}+1 \right)^{2}} dt \text{ } \Rightarrow \text{ } dx = \frac{4t^{3}+4t-4t^{3}+2t}{\left( t^{2}+1 \right)^{2}}dt \text{ } \Rightarrow \text{ } dx = \frac{6t}{\left( t^{2}+1 \right)^{2}} dt \]

Подставляя эту замену в исходный интеграл, получим:

    \[    \int \sqrt{\frac{1+x}{2-x}} dx = \int \frac{\sqrt{t^{2}} \cdot 6t}{\left( t^{2}+1 \right)^{2}} dt = 6 \int \frac{t^{2}}{\left( t^{2}+1 \right)^{2}} dt \]

Для нахождения полученного интеграла будем использовать метод интегрирования по частям. Положим

    \[    u = t \text{ },\text{ } dv = \frac{t}{\left( t^{2}+1 \right)^{2}} dt \]

тогда

    \[    du = dt \text{ },\text{ } v = \int \frac{t}{\left( t^{2}+1 \right)^{2}} dt = \frac{1}{2} \int \frac{2t}{\left( t^{2}+1 \right)^{2}} dt = \frac{1}{2} \int \frac{d\left( t^{2}+1 \right)}{\left( t^{2}+1 \right)^{2}} dt = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{ t^{2}+1} \]

Подставляя все в формулу для интегрирования по частям, получим:

    \[    \int \sqrt{\frac{1+x}{2-x}} dx = 6 \int \frac{t^{2}}{\left( t^{2}+1 \right)^{2}} dt = 6 \left( t \cdot \left( - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{ t^{2}+1} \right) - \int \left( - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{ t^{2}+1} \right) dt \right) =  \]

    \[    = - \frac{3t}{ t^{2}+1} + 3 \int \frac{dt}{ t^{2}+1} \]

Последний интеграл является табличным

    \[    \int \sqrt{\frac{1+x}{2-x}} dx = - \frac{3t}{ t^{2}+1} + 3 \int \frac{dt}{ t^{2}+1} = - \frac{3t}{ t^{2}+1} + 3 \text{arctg }t + C \]

Делаем обратную замену t = \sqrt{\frac{1+x}{2-x}} :

    \[    \int \sqrt{\frac{1+x}{2-x}} dx = - \frac{3t}{ t^{2}+1} + 3 \text{arctg }t + C = - \sqrt{1+x} \cdot \sqrt{2-x} + 3 \text{arctg } \left( \frac{1+x}{2-x} \right) + C \]

Ответ