Примеры решения сложных интегралов

При решении сложных интегралов зачастую есть необходимость применять не один, а несколько стандартных методов интегрирования и делать оригинальные замены переменных.

ПРИМЕР 1

Задание

Вычислить интеграл

$\int _{1}^{e^{3}} \frac{dx}{x \sqrt{1+\ln x}}$

Решение

Введем замену: $1+\ln x=t$ , тогда

$\frac{dx}{x} = dt$

Вычислим новые пределы интегрирования: если $x=1$ , то $t=1+\ln 1=1+0=1$ ; если $x=e^{3}$ , то $t=1+\ln e^{3} = 1+3=4$ . Подставим все в исходный интеграл:

$\int _{1}^{e^{3}} \frac{dx}{x \sqrt{1+\ln x}} = \int _{1}^{4} \frac{dt}{\sqrt{t}} = 2 \sqrt{t} \bigg| _{1}^{4} = 2 (\sqrt{4} - \sqrt{1}) = 2 \cdot (2-1) = 2$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Решить сложный интеграл

$\int \frac{2x^{2}+1}{x^{3}-2x^{2}+x} dx$

Решение

Разложим знаменатель на множители

$x^{3}-2x^{2}+x = x (x^{2}-2x+1)=x(x-1)^{2}$

Подынтегральное выражение представим в виде суммы элементарных дробей:

$\frac{2x^{2}+1}{x^{3}-2x^{2}+x} = \frac{2x^{2}+1}{x(x-1)^{2}} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^{2}}$

Приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю:

$\frac{2x^{2}+1}{x(x-1)^{2}} = \frac{A (x-1)^{2} + Bx(x-1)+Cx}{x(x-1)^{2}}$

Знаменатели этих дробей равны, приравняем их числители:

$2x^{2}+1 = A (x^{2}-2x+1)+B(x^{2}-x)+Cx$

Из последнего равенства найдем $A$ , $B$ и $C$ , для этого приравняем коэффициенты при соответствующих степенях:

$\left \begin{gathered} x^{2} \\ x^{1} \\ x^{0} \end{gathered} \right \left| \begin{gathered} A+B=2 \hfill \\ -2A-B+C=0 \\ A=1 \hfill \end{gathered} \right$

Решая эту систему, получим $A=1 \text{ },\text{ } B=1 \text{ },\text{ } C=3$ . Тогда исходный интеграл можно представить в виде

$\int \frac{2x^{2}+1}{x^{3}-2x^{2}+x} dx = \int \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1}+\frac{3}{(x-1)^{2}} \right) dx = \int \frac{dx}{x} + \int \frac{dx}{x-1} + 3 \int \frac{dx}{(x-1)^{2}}$

Во втором и третьем интегралом внесем $x-1$ под знак дифференциала

$\int \frac{2x^{2}+1}{x^{3}-2x^{2}+x} dx = \int \frac{dx}{x} + \int \frac{dx}{x-1} + 3 \int \frac{dx}{(x-1)^{2}} =$

$= \int \frac{dx}{x} + \int \frac{d(x-1)}{x-1} + 3 \int (x-1)^{-2} d(x-1)$

Полученные интегралы являются табличными, найдем их:

$\int \frac{2x^{2}+1}{x^{3}-2x^{2}+x} dx = \int \frac{dx}{x} + \int \frac{d(x-1)}{x-1} + 3 \int (x-1)^{-2} d(x-1) =$

$= \ln |x| + \ln |x-1| - \frac{3}{x-1} + C$

Ответ

ПРИМЕР 3

Задание

Найти интеграл

$\int \frac{x^{2}+3x+2}{x^{3}-1} dx$

Решение

Используя формулы сокращенного умножения, разложим в знаменателе разность кубов

$\int \frac{x^{2}+3x+2}{x^{3}-1} dx = \int \frac{x^{2}+3x+2}{(x-1)(x^{2}+x+1)} dx$

Далее разложим подынтегральное выражение на сумму элементарных дробей с неопределенными коэффициентами

$\frac{x^{2}+3x+2}{x^{3}-1} = \frac{x^{2}+3x+2}{(x-1)(x^{2}+x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^{2}+x+1}$

Приведем к общему знаменателю дроби в правой части последнего равенства и полученное выражение в числителе приравняем к числителю левой дроби:

$x^{2}+3x+2 = A (x^{2}+x+1) + (Bx+C)(x-1)$

$x^{2}+3x+2 = A x^{2} + Ax + A + Bx^{2}+Cx -Bx-C$

Для нахождения неизвестных коэффициентов $A$ , $B$ и $C$ приравняем коэффициенты при соответствующих степенях:

$\left \begin{gathered} x^{2} \\ x^{1} \\ x^{0} \end{gathered} \right \left| \begin{gathered} A+B=1 \hfill \\ A-B+C=3 \\ A-C=2 \hfill \end{gathered} \right$

Решая эту систему, получим $A=2 \text{ },\text{ } B=-1 \text{ },\text{ } C=0$ . Тогда исходный интеграл примет вид:

$\int \frac{x^{2}+3x+2}{x^{3}-1} dx = \int \frac{x^{2}+3x+2}{(x-1)(x^{2}+x+1)} dx = 2 \int \frac{dx}{x-1} - \int \frac{x dx}{x^{2}+x+1}$

В первом из полученных интегралов внесем под знак дифференциала $(x-1)$ , а во втором $(x^{2}+x+1)$ . Так как $(x^{2}+x+1)' = 2x+1$ , то умножим и разделим второй интеграл на 2 и прибавим и вычтем 1, получим:

$\int \frac{x^{2}+3x+2}{x^{3}-1} dx = 2 \int \frac{dx}{x-1} - \int \frac{x dx}{x^{2}+x+1} = 2 \int \frac{d(x-1)}{x-1} - \frac{1}{2} \int \frac{(2x+1-1) dx}{x^{2}+x+1} =$

$= 2 \int \frac{d(x-1)}{x-1} - \frac{1}{2} \int \frac{(2x+1) dx}{x^{2}+x+1} + \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x^{2}+x+1} =$

$= 2 \int \frac{d(x-1)}{x-1} - \frac{1}{2} \int \frac{d(x^{2}+x+1)}{x^{2}+x+1} + \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x^{2}+x+1}$

Первые два из полученных интегралов, являются табличными, в третьем выделим в знаменателе полный квадрат:

$\int \frac{x^{2}+3x+2}{x^{3}-1} dx = 2 \int \frac{d(x-1)}{x-1} - \frac{1}{2} \int \frac{d(x^{2}+x+1)}{x^{2}+x+1} + \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x^{2}+x+1} =$

$= 2 \ln |x-1| - \frac{1}{2} \ln |x^{2}+x+1| + \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\left( x + \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4}}$

Далее внесем под дифференциал $\left( x + \frac{1}{2} \right)$ и полученный интеграл будет табличным. Таким образом, окончательно получим:

$\int \frac{dx}{\left( x + \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4}} = \int \frac{d \left( x + \frac{1}{2} \right)}{\left( x + \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \text{arctg } \frac{x + \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \text{arctg } \frac{2x + 1}{\sqrt{3}}} + C$

$\int \frac{x^{2}+3x+2}{x^{3}-1} dx = \ln (x-1)^{2} - \ln \sqrt{x^{2}+x+1} + \frac{1}{\sqrt{3}} \text{arctg } \frac{2x + 1}{\sqrt{3}}} + C$

Ответ

ПРИМЕР 4

Задание

Найти сложный интеграл

$\int \frac{dx}{2 \sin x + 3 \cos x + 3}$

Решение

Введем универсальную тригонометрическую замену $\text{tg }\frac{x}{2}=t$ , тогда

$\sin x = \frac{2t}{1+t^{2}} \text{ };\text{ } \cos x = \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \text{ };\text{ } dx = \frac{dt}{1+t^{2}}$

Подставляя это все в исходный интеграл, получим

$\int \frac{dx}{2 \sin x + 3 \cos x + 3} = \int \frac{\frac{dt}{1+t^{2}}}{2 \cdot \frac{2t}{1+t^{2}} + 3 \cdot \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} + 3} = 2 \int \frac{dt}{4t + 3 (1-t^{2})+3(1+t^{2})} =$

$= 2 \int \frac{dt}{4t+3-3t^{2}+3+3t^{2}} = 2 \int \frac{dt}{4t+6} = \frac{2}{2} \int \frac{dt}{2t+3} = \int \frac{dt}{2t+3}$

Внесем под знак дифференциала $2t+3$ :

$\int \frac{dx}{2 \sin x + 3 \cos x + 3} = \int \frac{dt}{2t+3} = \frac{1}{2} \int \frac{d(2t+3)}{2t+3} = \frac{1}{2} \ln |2t+3| + C$

Делая обратную замену, окончательно получим:

$\int \frac{dx}{2 \sin x + 3 \cos x + 3} = \frac{1}{2} \ln |2t+3| + C = \frac{1}{2} \ln \left| 2 \text{tg }\frac{x}{2} + 3 \right| + C$

Ответ

ПРИМЕР 5

Задание

Найти интеграл

$\int \sqrt{\frac{1+x}{2-x}} dx$

Решение

Введем замен и выразим $x$ :

$\frac{1+x}{2-x} = t^{2}$

$2t^{2}-t^{2}x=1+x \text{ } \Rightarrow \text{ } t^{2}x+x=2t^{2}-1 \text{ } \Rightarrow \text{ }x (t^{2}+1) = 2t^{2}-1 \text{ } \Rightarrow \text{ } x = \frac{2t^{2}-1}{t^{2}+1}$

Продифференцируем левую и правую части последнего равенства:

$dx = \frac{4t(t^{2}+1) - 2t(2t^{2}-1)}{\left( t^{2}+1 \right)^{2}} dt \text{ } \Rightarrow \text{ } dx = \frac{4t^{3}+4t-4t^{3}+2t}{\left( t^{2}+1 \right)^{2}}dt \text{ } \Rightarrow \text{ } dx = \frac{6t}{\left( t^{2}+1 \right)^{2}} dt$

Подставляя эту замену в исходный интеграл, получим:

$\int \sqrt{\frac{1+x}{2-x}} dx = \int \frac{\sqrt{t^{2}} \cdot 6t}{\left( t^{2}+1 \right)^{2}} dt = 6 \int \frac{t^{2}}{\left( t^{2}+1 \right)^{2}} dt$

Для нахождения полученного интеграла будем использовать метод интегрирования по частям. Положим

$u = t \text{ },\text{ } dv = \frac{t}{\left( t^{2}+1 \right)^{2}} dt$

тогда

$du = dt \text{ },\text{ } v = \int \frac{t}{\left( t^{2}+1 \right)^{2}} dt = \frac{1}{2} \int \frac{2t}{\left( t^{2}+1 \right)^{2}} dt = \frac{1}{2} \int \frac{d\left( t^{2}+1 \right)}{\left( t^{2}+1 \right)^{2}} dt = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{ t^{2}+1}$

Подставляя все в формулу для интегрирования по частям, получим:

$\int \sqrt{\frac{1+x}{2-x}} dx = 6 \int \frac{t^{2}}{\left( t^{2}+1 \right)^{2}} dt = 6 \left( t \cdot \left( - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{ t^{2}+1} \right) - \int \left( - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{ t^{2}+1} \right) dt \right) =$

$= - \frac{3t}{ t^{2}+1} + 3 \int \frac{dt}{ t^{2}+1}$

Последний интеграл является табличным

$\int \sqrt{\frac{1+x}{2-x}} dx = - \frac{3t}{ t^{2}+1} + 3 \int \frac{dt}{ t^{2}+1} = - \frac{3t}{ t^{2}+1} + 3 \text{arctg }t + C$

Делаем обратную замену $t = \sqrt{\frac{1+x}{2-x}}$ :

$\int \sqrt{\frac{1+x}{2-x}} dx = - \frac{3t}{ t^{2}+1} + 3 \text{arctg }t + C = - \sqrt{1+x} \cdot \sqrt{2-x} + 3 \text{arctg } \left( \frac{1+x}{2-x} \right) + C$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Примеры решения сложных интегралов