Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры решения интегралов

Теория про интегралы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех её первообразных F(x) и обозначается \int f(x)dx = F(x) + C.

Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если F'(x) = f(x). Таким образом, интегрирование является операцией обратной к дифференцированию.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Определенным интегралом от функции f(x) на промежутке [a, b] называется разность двух значений первообразной функции, вычисленных при x=a и при x=b (формула Ньютона-Лейбница):

    \[    \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b)-F(a) \]

Для нахождения определенных и неопределенных интегралов используют свойства этих интегралов, таблицу интегралов, а также два основных метода интегрирования: замену переменных и интегрирование по частям.

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Найти неопределенный интеграл

    \[    \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} dx \]

Решение Запишем подынтегральное выражение в следующем виде, используя свойства степеней:

    \[    \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} dx = \int x^{-\frac{2}{3}} dx \]

Далее воспользуемся формулой для нахождения интеграла от степенной функции (ссылку на таблицу интегралов), получим:

    \[    \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} dx = \int x^{-\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{-\frac{2}{3} + 1}}{-\frac{2}{3}+1} + C = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} + C = 3 \cdot \sqrt[3]{x} + C \]

    \[    \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} dx = 3 \cdot \sqrt[3]{x} + C \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти неопределенный интеграл

    \[    \int \left( 3 \sin x + \frac{10}{x} \right) dx \]

Решение Заменим интеграл суммы суммой интегралов:

    \[    \int \left( 3 \sin x + \frac{10}{x} \right) dx = \int 3 \sin dx + \int \frac{10}{x} dx \]

Вынесем коэффициенты за знак интегралов:

    \[    \int \left( 3 \sin x + \frac{10}{x} \right) dx = \int 3 \sin x dx + \int \frac{10}{x} dx = 3 \int \sin x dx + 10 \int \frac{dx}{x} \]

Полученные интегралы являются табличными, тогда окончательно получаем:

    \[    \int \left( 3 \sin x + \frac{10}{x} \right) dx = 3 \int \sin x dx + 10 \int \frac{dx}{x} = - 3 \cos x + 10 \ln |x| + C \]

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Найти неопределенный интеграл

    \[    \int \cos ^{2}\frac{x}{2} dx \]

Решение Используя формулу понижения степени для подынтегральной функции:

    \[    \cos ^{2}\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} \]

Тогда

    \[    \int \cos ^{2}\frac{x}{2} dx = \int \frac{1 + \cos x}{2} dx \]

Далее, согласно свойствам интегралов, вынесем коэффициент за знак интеграла и заменим интеграл от суммы на сумму интегралов:

    \[    \int \cos ^{2}\frac{x}{2} dx = \int \frac{1 + \cos x}{2} dx= \frac{1}{2} \int (1 + \cos x) dx = \frac{1}{2} \int dx + \frac{1}{2} \int \cos x dx \]

Находя полученные табличные интегралы, окончательно получим:

    \[    \int \cos ^{2}\frac{x}{2} dx = \frac{1}{2} \int dx + \frac{1}{2} \int \cos x dx = \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{2} \cdot \sin x + C = \frac{x}{2} +  \frac{1}{2} \sin x + C \]

Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Найти неопределенный интеграл

    \[    \int \cos (3x+2) dx \]

Решение Ведем замену

    \[    3x+2 = t \text{ },\text{ } 3 dx = dt \text{ } \Rightarrow \text{ } dx = \frac{dt}{3} \]

Подставляя введенную замену в интеграл и затем вынесем коэффициент за знак интеграла:

    \[    \int \cos (3x+2) dx = \int \frac{\cos t}{3} dt \]

    \[    \int \cos (3x+2) dx = \int \frac{\cos t}{3} dt = \frac{1}{3} \int \cos t dt \]

Используя таблицу интегралов, окончательно будем иметь:

    \[    \int \cos (3x+2) dx = \frac{1}{3} \int \cos t dt = \frac{1}{3} \sin t + C \]

Сделаем обратную замену, подставляем t=3x+2:

    \[    \int \cos (3x+2) dx = \frac{1}{3} \sin t + C = \frac{1}{3} \sin (3x+2) + C \]

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Вычислить определенный интеграл

    \[    \int_{0}^{1} (x^{2}-4x) dx \]

Решение Разобьем заданный интеграл разности на разность двух интегралов и вынесем во втором интеграле коэффициент за знак интеграла, получим:

    \[    \int_{0}^{1} (x^{2}-4x) dx = \int_{0}^{1} x^{2} dx - \int_{0}^{1} 4x dx = \int_{0}^{1} x^{2} dx - 4 \int_{0}^{1} x dx \]

Используя формулу для нахождения интеграла от степенной функции \int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, получим

    \[    \int_{0}^{1} (x^{2}-4x) dx = \int_{0}^{1} x^{2} dx - 4 \int_{0}^{1} x dx = \frac{x^{3}}{3} \bigg| _{0}^{1} - 4 \cdot \frac{x^{2}}{2} \bigg| _{0}^{1} \]

Далее, подставляем верхние и нижние пределы интегрирования (используем формулу Ньютона-Лейбница):

    \[    \int_{0}^{1} (x^{2}-4x) dx = \frac{x^{3}}{3} \bigg| _{0}^{1} - 4 \cdot \frac{x^{2}}{2} \bigg| _{0}^{1} = \frac{x^{3}}{3} \bigg| _{0}^{1} - 2x^{2} \bigg| _{0}^{1} = \frac{1}{3} (1^{3}-0^{3}) - 2 (1^{2}-0^{2}) = \frac{1}{3}-2=-1\frac{2}{3} \]

Ответ