Примеры решения интегралов

Теория про интегралы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Неопределенным интегралом от функции $f(x)$ называется множество всех её первообразных $F(x)$ и обозначается $\int f(x)dx = F(x) + C$ .

Функция $F(x)$ называется первообразной функции $f(x)$ , если $F'(x) = f(x)$ . Таким образом, интегрирование является операцией обратной к дифференцированию.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Определенным интегралом от функции $f(x)$ на промежутке $[a, b]$ называется разность двух значений первообразной функции, вычисленных при $x=a$ и при $x=b$ (формула Ньютона-Лейбница):

$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b)-F(a)$

Для нахождения определенных и неопределенных интегралов используют свойства этих интегралов, таблицу интегралов, а также два основных метода интегрирования: замену переменных и интегрирование по частям.

Примеры

ПРИМЕР 1

Задание

Найти неопределенный интеграл

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} dx$

Решение

Запишем подынтегральное выражение в следующем виде, используя свойства степеней:

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} dx = \int x^{-\frac{2}{3}} dx$

Далее воспользуемся формулой для нахождения интеграла от степенной функции (ссылку на таблицу интегралов), получим:

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} dx = \int x^{-\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{-\frac{2}{3} + 1}}{-\frac{2}{3}+1} + C = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} + C = 3 \cdot \sqrt[3]{x} + C$

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} dx = 3 \cdot \sqrt[3]{x} + C$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Найти неопределенный интеграл

$\int \left( 3 \sin x + \frac{10}{x} \right) dx$

Решение

Заменим интеграл суммы суммой интегралов:

$\int \left( 3 \sin x + \frac{10}{x} \right) dx = \int 3 \sin dx + \int \frac{10}{x} dx$

Вынесем коэффициенты за знак интегралов:

$\int \left( 3 \sin x + \frac{10}{x} \right) dx = \int 3 \sin x dx + \int \frac{10}{x} dx = 3 \int \sin x dx + 10 \int \frac{dx}{x}$

Полученные интегралы являются табличными, тогда окончательно получаем:

$\int \left( 3 \sin x + \frac{10}{x} \right) dx = 3 \int \sin x dx + 10 \int \frac{dx}{x} = - 3 \cos x + 10 \ln |x| + C$

Ответ

ПРИМЕР 3

Задание

Найти неопределенный интеграл

$\int \cos ^{2}\frac{x}{2} dx$

Решение

Используя формулу понижения степени для подынтегральной функции:

$\cos ^{2}\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$

Тогда

$\int \cos ^{2}\frac{x}{2} dx = \int \frac{1 + \cos x}{2} dx$

Далее, согласно свойствам интегралов, вынесем коэффициент за знак интеграла и заменим интеграл от суммы на сумму интегралов:

$\int \cos ^{2}\frac{x}{2} dx = \int \frac{1 + \cos x}{2} dx= \frac{1}{2} \int (1 + \cos x) dx = \frac{1}{2} \int dx + \frac{1}{2} \int \cos x dx$

Находя полученные табличные интегралы, окончательно получим:

$\int \cos ^{2}\frac{x}{2} dx = \frac{1}{2} \int dx + \frac{1}{2} \int \cos x dx = \frac{1}{2} \cdot x + \frac{1}{2} \cdot \sin x + C = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin x + C$

Ответ

ПРИМЕР 4

Задание

Найти неопределенный интеграл

$\int \cos (3x+2) dx$

Решение

Ведем замену

$3x+2 = t \text{ },\text{ } 3 dx = dt \text{ } \Rightarrow \text{ } dx = \frac{dt}{3}$

Подставляя введенную замену в интеграл и затем вынесем коэффициент за знак интеграла:

$\int \cos (3x+2) dx = \int \frac{\cos t}{3} dt$

$\int \cos (3x+2) dx = \int \frac{\cos t}{3} dt = \frac{1}{3} \int \cos t dt$

Используя таблицу интегралов, окончательно будем иметь:

$\int \cos (3x+2) dx = \frac{1}{3} \int \cos t dt = \frac{1}{3} \sin t + C$

Сделаем обратную замену, подставляем $t=3x+2$ :

$\int \cos (3x+2) dx = \frac{1}{3} \sin t + C = \frac{1}{3} \sin (3x+2) + C$

Ответ

ПРИМЕР 5

Задание

Вычислить определенный интеграл

$\int_{0}^{1} (x^{2}-4x) dx$

Решение

Разобьем заданный интеграл разности на разность двух интегралов и вынесем во втором интеграле коэффициент за знак интеграла, получим:

$\int_{0}^{1} (x^{2}-4x) dx = \int_{0}^{1} x^{2} dx - \int_{0}^{1} 4x dx = \int_{0}^{1} x^{2} dx - 4 \int_{0}^{1} x dx$

Используя формулу для нахождения интеграла от степенной функции $\int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ , получим

$\int_{0}^{1} (x^{2}-4x) dx = \int_{0}^{1} x^{2} dx - 4 \int_{0}^{1} x dx = \frac{x^{3}}{3} \bigg| _{0}^{1} - 4 \cdot \frac{x^{2}}{2} \bigg| _{0}^{1}$

Далее, подставляем верхние и нижние пределы интегрирования (используем формулу Ньютона-Лейбница):

$\int_{0}^{1} (x^{2}-4x) dx = \frac{x^{3}}{3} \bigg| _{0}^{1} - 4 \cdot \frac{x^{2}}{2} \bigg| _{0}^{1} = \frac{x^{3}}{3} \bigg| _{0}^{1} - 2x^{2} \bigg| _{0}^{1} = \frac{1}{3} (1^{3}-0^{3}) - 2 (1^{2}-0^{2}) = \frac{1}{3}-2=-1\frac{2}{3}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Примеры решения интегралов

Теория про интегралы

Примеры