Примеры решения двойных интегралов

Теория по двойным интегралам

Двойной интеграл от функции двух переменных $f(x, y)$ по области G обозначается

$\iint _{G} f(x, y) dS = \iint _{G} f(x, y) dxdy$

Для вычисления двойного интеграла, его нужно свести к повторному интегралу. Возможны два случая. Пусть область интегрирования $G$ – элементарна относительно оси $Oy$ (рис. 1). Тогда двойной интеграл по области $G$ выражается через повторные по формуле:

$\iint _{G} f(x, y) dxdy = \int _{a}^{b} dx \int _{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(x, y) dy$

Если же область интегрирования $G$ – элементарна относительно оси $Ox$ (рис. 2), то двойной интеграл по области $G$ выражается через повторные следующим образом:

$\iint _{G} f(x, y) dxdy = \int _{c}^{d} dy \int _{\psi_{1}(y)}^{\psi_{2}(y)} f(x, y) dx$

При решении задач иногда полезно разбить исходную область интегрирования на две или более областей и вычислять двойной интеграл в каждой области отдельно.

Примеры

ПРИМЕР 1

Задание

Вычислить интеграл, если область $G$ является прямоугольником со сторонами, параллельными осям координат, причем $1 \leq x \leq 2 \text{ },\text{ } 2 \leq y\leq 3$ . Интеграл:

$\iint _{G} x^{2}y dxdy$

Решение

Для вычисления этого двойного интеграла перейдем к повторному интегралу:

$\iint _{G} x^{2}y dxdy = \int_{1}^{2} dx \int _{2}^{3} x^{2}y dy$

Далее вычисляем внутренний интеграл по $y$ , считая, что $x$ константа

$\iint _{G} x^{2}y dxdy = \int_{1}^{2} dx \int _{2}^{3} x^{2}y dy = \int_{1}^{2} \left( \frac{x^{2}y^{2}}{2} \bigg| _{2}^{3}\right) dx = \int_{1}^{2} \left( \frac{x^{2}}{2} (3^{2}-2^{2}) \right) dx =$

$= \frac{5}{2} \int_{1}^{2} x^{2} dx = \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{3}}{3} \bigg| _{1}^{2} = 2,5 (2^{3}-1)=17,5$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Вычислить двойной интеграл, если область $G$ ограничена осями координат и прямой $y=1-x$ . Интеграл:

$\iint _{G} (x+y) dxdy$

Решение

Сделаем рисунок (рис. 3).

Для вычисления заданного двойного интеграла перейдем к повторному, в котором пределы интегрирования будут расставлены следующим образом:

$\iint _{G} (x+y) dxdy = \int _{0}^{1} dx \int _{0}^{1-x} (x+y) dy$

Сначала вычислим внутренний интеграл по $y$ , считая $x$ константой:

$\iint _{G} (x+y) dxdy = \int _{0}^{1} dx \int _{0}^{1-x} (x+y) dy = \int _{0}^{1} \left( xy+ \frac{y^{2}}{2} \right) \bigg| _{0}^{1-x} dx =$

$= \int _{0}^{1} \left( x(1-x) + \frac{(1-x)^{2}}{2} -x \cdot 0 - \frac{0^{2}}{2} \right) dx = \int _{0}^{1} \left( x-x^{2} + \frac{1-2x+x^{2}}{2} \right) dx =$

$= \int _{0}^{1} \left( x-x^{2} + \frac{1}{2} - x + \frac{x^{2}}{2} \right) dx = \frac{1}{2} \int _{0}^{1} (1-x^{2}) dx = \frac{1}{2} \left( x - \frac{x^{3}}{3} \right) \bigg| _{0}^{1} =$

$= \frac{1}{2} \left( \left( 1 - \frac{1^{3}}{3} \right) - \left( 0-\frac{0^{3}}{3} \right) \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ

ПРИМЕР 3

Задание

Вычислить двойной интеграл, если область $G$ – единичный круг с центром в начале координат. Интеграл:

$\iint _{G} \sqrt{x^{2}+y^{2}} dxdy$

Решение

Если область, по которой вычисляется интеграл, является кругом или его частью, то интеграл проще вычислять в полярных координатах. Перейдем к полярным координатам:

$\begin{cases} x=\rho \cos \varphi \\ y=\rho \sin \varphi \end{cases} \text{ },\text{ } dxdy = \rho d \rho d \varphi$

В декартовых координатах уравнение единичной окружности с центром в начале координат имеет вид: $x^{2}+y^{2}=1$ ; запишем его в полярной системе координат:

$(\rho \cos \varphi)^{2} + (\rho \sin \varphi )^{2}=1 \text{ } \Rightarrow \text{ } \rho^{2} (\cos ^{2} \varphi + \sin ^{2} \varphi )=1 \text{ } \Rightarrow \text{ } \rho^{2} = 1$

Учитывая, что по определению $\rho \geq 0$ , получим, что лежит в пределах $0 \leq \rho \leq 1$ . Так как интегрирование производится по всей окружности, то $\varphi$ лежит в пределах $0 \leq \varphi \leq 2 \pi$ . Подынтегральная функция в полярной системе координат примет вид:

$\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{(\rho \cos \varphi)^{2} + (\rho \sin \varphi )^{2}} = \sqrt{\rho^{2} (\cos ^{2} \varphi + \sin ^{2} \varphi )} = \sqrt{\rho^{2}} = \rho$

Подставляя эту замену в исходный интеграл и переходя от двойного к повторному, получим:

$\iint _{G} \sqrt{x^{2}+y^{2}} dxdy = \iint _{G_{1}} \rho \cdot \rho d \rho d \varphi = \iint _{G_{1}} \rho ^{2} d \rho d \varphi = \int _{0}^{2 \pi} d \varphi \int _{0}^{1} \rho ^{2} d \rho$

Так как внутренний интеграл не зависит от $\varphi$ , то его можно вычислить отдельно $\int _{0}^{2 \pi} d \varphi=2 \pi$ , осталось вычислить внутренний интеграл по $\rho$ :

$\iint _{G} \sqrt{x^{2}+y^{2}} dxdy = \int _{0}^{2 \pi} d \varphi \int _{0}^{1} \rho ^{2} d \rho = 2 \pi \int _{0}^{1} \rho ^{2} d \rho = 2 \pi \cdot \frac{\rho ^{3}}{3} \bigg| _{0}^{1} = \frac{2 \pi}{3} (1^{3}-0^{3})= \frac{2 \pi}{3}$

Ответ

ПРИМЕР 4

Задание

Вычислить двойной интеграл, если область $G$ ограничена эллипсом $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ и осями координат. Интеграл:

$\iint _{G} xy dxdy$

Решение

Для вычисления данного интеграла перейдем к обобщенным полярным координатам:

$\begin{cases} x=2 \rho \cos \varphi \\ y=3 \rho \sin \varphi \end{cases} \text{ },\text{ } dxdy = 2 \cdot 3 \rho d \rho d \varphi = 6 \rho d \rho d \varphi$

Подынтегральная функция в полярной системе координат примет вид

$xy = 2 \rho \cos \varphi \cdot 3 \rho \sin \varphi = 3 \rho^{2} \sin 2 \varphi$

Область $G$ представляет собой часть эллипса $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ (центр которого лежит в начале координат), лежащего в первой четверти. Поэтому $\varphi$ будет лежать в пределах $0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}$ . Запишем в полярной системе координат уравнение эллипса:

$\frac{(2 \rho \cos \varphi)^{2}}{4} + \frac{(3 \rho \sin \varphi )^{2}}{9}=1$

$\frac{4 \rho^{2} \cos ^{2} \varphi}{4} + \frac{9 \rho^{2} \sin ^{2} \varphi}{9}=1$

$\rho^{2} \cos ^{2} \varphi + \rho^{2} \sin ^{2} \varphi =1$

$\rho^{2} (\cos ^{2} \varphi + \sin ^{2} \varphi ) =1$

Учитывая, что $\cos ^{2} \varphi + \sin ^{2} \varphi = 1 \text{ } \Rightarrow \text{ } \rho ^{2}=1$ . Так как по определению $\rho \geq 0$ , получим, что $\rho$ лежит в пределах $0 \leq \rho \leq 1$ . Подставляя эту замену в исходный интеграл и переходя от двойного к повторному интегралу, получим:

$\iint _{G} xy dxdy = \iint _{G_{1}} 3 \rho^{2} \sin 2 \varphi \cdot 6 \rho d \rho d \varphi = 18 \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} d \varphi \int _{0}^{1} \rho^{3} \sin 2 \varphi d \rho$

Вычислим сначала внутренний интеграл, при этом функцию от $\varphi$ будем считать константой:

$\iint _{G} xy dxdy = 18 \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} d \varphi \int _{0}^{1} \rho^{3} \sin 2 \varphi d \rho = 18 \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\rho^{4}}{4} \bigg| _{0}^{1} \right) \sin 2 \varphi d \varphi =$

$= \frac{18}{4} \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2 \varphi d \varphi = \frac{9}{2} \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2 \varphi d \varphi$

В последнем интеграле сделаем замену $2 \varphi = t \text{ } \Rightarrow \text{ } 2 d \varphi = dt \text{ } \Rightarrow \text{ } d \varphi = \frac{dt}{2}$ , пределы интегрирования: при $\varphi = \frac{\pi}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } t = \pi$ ; при $\varphi = 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } t=0$ . Тогда

$\iint _{G} xy dxdy = \frac{9}{2} \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2 \varphi d \varphi = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2} \int _{0}^{\pi} \sin t dt =$

$= - \frac{9}{4} \cos t \bigg| _{0}^{\pi} = - \frac{9}{4} (\cos \pi - \cos 0) = - \frac{9}{4} (-1-1) = \frac{9}{2}$

Ответ

ПРИМЕР 5

Задание

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: $y= \sqrt{x} \text{ };\text{ } y=2 \sqrt{x} \text{ };\text{ } x=4$

Решение

Сделаем рисунок (рис. 4).

Площадь с помощью двойного интеграла вычисляется по формуле

$S = \iint _{G} dxdy$

Перейдем от двойного интеграла к повторному:

$S = \iint _{G} dxdy = \int _{0}^{4} dx \int _{\sqrt{x}}^{2 \sqrt{x}} dy$

Вычислим этот интеграл, начиная с внутреннего:

$S = \iint _{G} dxdy = \int _{0}^{4} dx \int _{\sqrt{x}}^{2 \sqrt{x}} dy = \int _{0}^{4} (2 \sqrt{x}-\sqrt{x}) dx = \int _{0}^{4} \sqrt{x} dx = \frac{2x \sqrt{x}}{3} \bigg| _{0}^{4} =$

(кв. ед.)

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Примеры решения двойных интегралов

Теория по двойным интегралам

Примеры