Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры решения двойных интегралов

Теория по двойным интегралам

Двойной интеграл от функции двух переменных f(x, y) по области G обозначается

    \[    \iint _{G} f(x, y) dS = \iint _{G} f(x, y) dxdy \]

Для вычисления двойного интеграла, его нужно свести к повторному интегралу. Возможны два случая. Пусть область интегрирования G – элементарна относительно оси Oy (рис. 1). Тогда двойной интеграл по области G выражается через повторные по формуле:

    \[    \iint _{G} f(x, y) dxdy = \int _{a}^{b} dx \int _{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(x, y) dy \]

Если же область интегрирования G – элементарна относительно оси Ox (рис. 2), то двойной интеграл по области G выражается через повторные следующим образом:

    \[    \iint _{G} f(x, y) dxdy = \int _{c}^{d} dy \int _{\psi_{1}(y)}^{\psi_{2}(y)} f(x, y) dx \]

При решении задач иногда полезно разбить исходную область интегрирования на две или более областей и вычислять двойной интеграл в каждой области отдельно.

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Вычислить интеграл, если область G является прямоугольником со сторонами, параллельными осям координат, причем 1 \leq x \leq 2 \text{ },\text{ } 2 \leq y\leq 3 . Интеграл:

    \[    \iint _{G} x^{2}y dxdy \]

Решение Для вычисления этого двойного интеграла перейдем к повторному интегралу:

    \[    \iint _{G} x^{2}y dxdy = \int_{1}^{2} dx \int _{2}^{3} x^{2}y dy \]

Далее вычисляем внутренний интеграл по y, считая, что x константа

    \[    \iint _{G} x^{2}y dxdy = \int_{1}^{2} dx \int _{2}^{3} x^{2}y dy = \int_{1}^{2} \left( \frac{x^{2}y^{2}}{2} \bigg| _{2}^{3}\right) dx = \int_{1}^{2} \left( \frac{x^{2}}{2} (3^{2}-2^{2}) \right) dx =  \]

    \[    = \frac{5}{2} \int_{1}^{2} x^{2} dx = \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{3}}{3} \bigg| _{1}^{2} = 2,5 (2^{3}-1)=17,5 \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Вычислить двойной интеграл, если область G ограничена осями координат и прямой y=1-x . Интеграл:

    \[    \iint _{G} (x+y) dxdy \]

Решение Сделаем рисунок (рис. 3).

Для вычисления заданного двойного интеграла перейдем к повторному, в котором пределы интегрирования будут расставлены следующим образом:

    \[    \iint _{G} (x+y) dxdy = \int _{0}^{1} dx \int _{0}^{1-x} (x+y) dy \]

Сначала вычислим внутренний интеграл по y, считая x константой:

    \[    \iint _{G} (x+y) dxdy = \int _{0}^{1} dx \int _{0}^{1-x} (x+y) dy = \int _{0}^{1} \left( xy+ \frac{y^{2}}{2} \right) \bigg| _{0}^{1-x} dx = \]

    \[    = \int _{0}^{1} \left( x(1-x) + \frac{(1-x)^{2}}{2} -x \cdot 0 - \frac{0^{2}}{2} \right) dx = \int _{0}^{1} \left( x-x^{2} + \frac{1-2x+x^{2}}{2} \right) dx =  \]

    \[    = \int _{0}^{1} \left( x-x^{2} + \frac{1}{2} - x + \frac{x^{2}}{2} \right) dx = \frac{1}{2} \int _{0}^{1} (1-x^{2}) dx = \frac{1}{2} \left( x - \frac{x^{3}}{3} \right) \bigg| _{0}^{1} =  \]

    \[    = \frac{1}{2} \left( \left( 1 - \frac{1^{3}}{3} \right) - \left( 0-\frac{0^{3}}{3} \right) \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \]

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Вычислить двойной интеграл, если область G – единичный круг с центром в начале координат. Интеграл:

    \[    \iint _{G} \sqrt{x^{2}+y^{2}} dxdy \]

Решение Если область, по которой вычисляется интеграл, является кругом или его частью, то интеграл проще вычислять в полярных координатах. Перейдем к полярным координатам:

    \[ \begin{cases} x=\rho \cos \varphi \\ y=\rho \sin \varphi  \end{cases} \text{ },\text{ } dxdy = \rho d \rho d \varphi \]

В декартовых координатах уравнение единичной окружности с центром в начале координат имеет вид: x^{2}+y^{2}=1 ; запишем его в полярной системе координат:

    \[    (\rho \cos \varphi)^{2} + (\rho \sin \varphi )^{2}=1 \text{ } \Rightarrow \text{ } \rho^{2} (\cos ^{2} \varphi + \sin ^{2} \varphi )=1 \text{ } \Rightarrow \text{ } \rho^{2} = 1 \]

Учитывая, что по определению \rho \geq 0 , получим, что лежит в пределах 0 \leq \rho \leq 1 . Так как интегрирование производится по всей окружности, то \varphi лежит в пределах 0 \leq \varphi \leq 2 \pi . Подынтегральная функция в полярной системе координат примет вид:

    \[    \sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{(\rho \cos \varphi)^{2} + (\rho \sin \varphi )^{2}} = \sqrt{\rho^{2} (\cos ^{2} \varphi + \sin ^{2} \varphi )} = \sqrt{\rho^{2}} = \rho \]

Подставляя эту замену в исходный интеграл и переходя от двойного к повторному, получим:

    \[    \iint _{G} \sqrt{x^{2}+y^{2}} dxdy = \iint _{G_{1}} \rho \cdot \rho d \rho d \varphi = \iint _{G_{1}} \rho ^{2} d \rho d \varphi = \int _{0}^{2 \pi} d \varphi  \int _{0}^{1} \rho ^{2} d \rho \]

Так как внутренний интеграл не зависит от \varphi, то его можно вычислить отдельно \int _{0}^{2 \pi} d \varphi=2 \pi , осталось вычислить внутренний интеграл по \rho :

    \[    \iint _{G} \sqrt{x^{2}+y^{2}} dxdy = \int _{0}^{2 \pi} d \varphi  \int _{0}^{1} \rho ^{2} d \rho = 2 \pi \int _{0}^{1} \rho ^{2} d \rho = 2 \pi \cdot \frac{\rho ^{3}}{3} \bigg| _{0}^{1} = \frac{2 \pi}{3} (1^{3}-0^{3})= \frac{2 \pi}{3} \]

Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Вычислить двойной интеграл, если область G ограничена эллипсом \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1 и осями координат. Интеграл:

    \[    \iint _{G} xy dxdy \]

Решение Для вычисления данного интеграла перейдем к обобщенным полярным координатам:

    \[ \begin{cases} x=2 \rho \cos \varphi \\ y=3 \rho \sin \varphi  \end{cases} \text{ },\text{ } dxdy = 2 \cdot 3 \rho d \rho d \varphi = 6 \rho d \rho d \varphi  \]

Подынтегральная функция в полярной системе координат примет вид

    \[    xy = 2 \rho \cos \varphi \cdot 3 \rho \sin \varphi  = 3 \rho^{2} \sin 2 \varphi \]

Область G представляет собой часть эллипса \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1 (центр которого лежит в начале координат), лежащего в первой четверти. Поэтому \varphi будет лежать в пределах 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2} . Запишем в полярной системе координат уравнение эллипса:

    \[    \frac{(2 \rho \cos \varphi)^{2}}{4} + \frac{(3 \rho \sin \varphi )^{2}}{9}=1 \]

    \[    \frac{4 \rho^{2} \cos ^{2} \varphi}{4} + \frac{9 \rho^{2} \sin ^{2} \varphi}{9}=1 \]

    \[    \rho^{2} \cos ^{2} \varphi + \rho^{2}  \sin ^{2} \varphi =1 \]

    \[    \rho^{2} (\cos ^{2} \varphi + \sin ^{2} \varphi ) =1 \]

Учитывая, что \cos ^{2} \varphi + \sin ^{2} \varphi = 1 \text{ } \Rightarrow \text{ } \rho ^{2}=1 . Так как по определению \rho \geq 0 , получим, что \rho лежит в пределах 0 \leq \rho \leq 1 . Подставляя эту замену в исходный интеграл и переходя от двойного к повторному интегралу, получим:

    \[    \iint _{G} xy dxdy = \iint _{G_{1}} 3 \rho^{2} \sin 2 \varphi \cdot 6 \rho d \rho d \varphi  = 18 \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} d \varphi \int _{0}^{1} \rho^{3} \sin 2 \varphi d \rho \]

Вычислим сначала внутренний интеграл, при этом функцию от \varphi будем считать константой:

    \[    \iint _{G} xy dxdy = 18 \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} d \varphi \int _{0}^{1} \rho^{3} \sin 2 \varphi d \rho = 18 \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\rho^{4}}{4} \bigg| _{0}^{1} \right) \sin 2 \varphi d \varphi =  \]

    \[    = \frac{18}{4} \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2 \varphi d \varphi = \frac{9}{2} \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2 \varphi d \varphi  \]

В последнем интеграле сделаем замену 2 \varphi = t \text{ } \Rightarrow \text{ } 2 d \varphi = dt \text{ } \Rightarrow \text{ } d \varphi = \frac{dt}{2} , пределы интегрирования: при \varphi = \frac{\pi}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } t = \pi ; при \varphi = 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } t=0 . Тогда

    \[    \iint _{G} xy dxdy = \frac{9}{2} \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2 \varphi d \varphi = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2} \int _{0}^{\pi} \sin t dt = \]

    \[    = - \frac{9}{4} \cos t \bigg| _{0}^{\pi} = - \frac{9}{4} (\cos \pi - \cos 0) = - \frac{9}{4} (-1-1) = \frac{9}{2} \]

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание С помощью двойного интеграла, вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y= \sqrt{x} \text{ };\text{ } y=2 \sqrt{x} \text{ };\text{ } x=4
Решение Сделаем рисунок (рис. 4).

Площадь с помощью двойного интеграла вычисляется по формуле

    \[    S = \iint _{G} dxdy \]

Перейдем от двойного интеграла к повторному:

    \[    S = \iint _{G} dxdy = \int _{0}^{4} dx \int _{\sqrt{x}}^{2 \sqrt{x}} dy \]

Вычислим этот интеграл, начиная с внутреннего:

    \[    S = \iint _{G} dxdy = \int _{0}^{4} dx \int _{\sqrt{x}}^{2 \sqrt{x}} dy = \int _{0}^{4} (2 \sqrt{x}-\sqrt{x}) dx = \int _{0}^{4} \sqrt{x} dx = \frac{2x \sqrt{x}}{3} \bigg| _{0}^{4} = \]

(кв. ед.)

Ответ