Универсальная тригонометрическая подстановка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Универсальной тригонометрической подстановкой называется подстановка $\text{tg}\frac{x}{2}=t$ .

Остальные тригонометрические функции выражаются через тангенс половинного аргумента следующим образом:

Данные формулы имеют смысл, когда определен $\text{tg}\frac{x}{2}$ , то есть при $x\ne \pi +2\pi n,\ n\in Z$ . И для двух последних формул

$\text{tg}\frac{x}{2}\ne \pm 1 \text{ } \Rightarrow \text{ } x\ne \pm \frac{\pi }{2}+2\pi n,\ n\in Z$

$\text{tg}\frac{x}{2}\ne 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } x\ne 2\pi n,\ n\in Z$

Указанная универсальная тригонометрическая подстановка позволяет свести интеграл от некоторой рациональной функции от $\sin x$ и $\cos x$ – $\int{R\left( \sin x;\ \cos x \right)dx}$ к интегралу от рациональной дроби.

Если $\text{tg}\frac{x}{2}=t$ , тогда

$\text{tg}\frac{x}{2}=t \text{ } \Rightarrow \text{ } \frac{x}{2}=\text{arctg}\ t \text{ } \Rightarrow \text{ } x=2\text{arctg}\ t$

Дифференцируя левую и правую части последнего равенства, будем иметь выражения для дифференциала переменной интегрирования:

$dx=\frac{2dt}{1+{{t}^{2}}}$

ЗАМЕЧАНИЕ

Заметим, что эта подстановка применяется уже тогда, когда остальные подстановки не привели к желаемому результату, так как применение этой подстановки в общем случае приводит к крайне громоздким преобразованиям.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Найти интеграл $\int{\frac{dx}{\sin x}}$
Решение	Подынтегральная функция $R\left( \sin x;\ \cos x \right)=\frac{1}{\sin x}$ является рациональной функцией от $\sin x$ и $\cos x$ , поэтому для нахождения указанного интеграла применим универсальную тригонометрическую подстановку: $\int{\frac{dx}{\sin x}}\ \left\\| \begin{matrix} \text{tg}\ \frac{x}{2}=t \\ \sin x=\frac{2t}{1+{{t}^{2}}} \\ dx=\frac{2dt}{1+{{t}^{2}}} \\ \end{matrix} \right\\|=\int{\frac{\frac{2dt}{1+{{t}^{2}}}}{\frac{2t}{1+{{t}^{2}}}}}=\int{\frac{dt}{t}}=\ln \left\| t \right\|+C=\ln \left\| \text{tg}\ \frac{x}{2} \right\|+C$
Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Решить интеграл

$\int{\frac{dx}{\sin x+\cos x}}$

Решение

Подынтегральная функция является рациональной функцией от синуса и косинуса, поэтому для нахождения заданного интеграла можно применить универсальную тригонометрическую подстановку $\text{tg}\frac{x}{2}=t$ :

$\int{\frac{dx}{\sin x+\cos x}}\ \left\| \begin{matrix} \text{tg}\ \frac{x}{2}=t \\ \sin x=\frac{2t}{1+{{t}^{2}}} \\ \cos x=\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}} \\ dx=\frac{2dt}{1+{{t}^{2}}} \\ \end{matrix} \right\|=\int{\frac{\frac{2dt}{1+{{t}^{2}}}}{\frac{2t}{1+{{t}^{2}}}+\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}}}=2\int{\frac{dt}{2t+1-{{t}^{2}}}}=$

$=-2\int{\frac{dt}{{{t}^{2}}-2t-1}}=-2\int{\frac{dt}{{{t}^{2}}-2t+1-2}}=-2\int{\frac{dt}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}-2}}=$

$=2\int{\frac{dt}{2-{{\left( t-1 \right)}^{2}}}}=2\cdot \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln \left| \frac{\sqrt{2}+\left( t-1 \right)}{\sqrt{2}-\left( t-1 \right)} \right|+C=\frac{\sqrt{2}}{2}\ln \left| \frac{\sqrt{2}+\text{tg}\ \frac{x}{2}-1}{\sqrt{2}-\text{tg}\ \frac{x}{2}+1} \right|+C$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Универсальная тригонометрическая подстановка

Примеры решения задач