Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Универсальная тригонометрическая подстановка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Универсальной тригонометрической подстановкой называется подстановка \text{tg}\frac{x}{2}=t .

Остальные тригонометрические функции выражаются через тангенс половинного аргумента следующим образом:

Данные формулы имеют смысл, когда определен \text{tg}\frac{x}{2}, то есть при x\ne \pi +2\pi n,\ n\in Z. И для двух последних формул

    \[\text{tg}\frac{x}{2}\ne \pm 1 \text{ } \Rightarrow  \text{ } x\ne \pm \frac{\pi }{2}+2\pi n,\ n\in Z \]

    \[\text{tg}\frac{x}{2}\ne 0 \text{ } \Rightarrow  \text{ } x\ne 2\pi n,\ n\in Z \]

Указанная универсальная тригонометрическая подстановка позволяет свести интеграл от некоторой рациональной функции от \sin x и \cos x\int{R\left( \sin x;\ \cos x \right)dx} к интегралу от рациональной дроби.

Если \text{tg}\frac{x}{2}=t, тогда

    \[\text{tg}\frac{x}{2}=t \text{ } \Rightarrow  \text{ } \frac{x}{2}=\text{arctg}\ t \text{ } \Rightarrow \text{ }  x=2\text{arctg}\ t\]

Дифференцируя левую и правую части последнего равенства, будем иметь выражения для дифференциала переменной интегрирования:

    \[dx=\frac{2dt}{1+{{t}^{2}}}\]

ЗАМЕЧАНИЕ
Заметим, что эта подстановка применяется уже тогда, когда остальные подстановки не привели к желаемому результату, так как применение этой подстановки в общем случае приводит к крайне громоздким преобразованиям.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти интеграл

    \[ \int{\frac{dx}{\sin x}} \]

Решение Подынтегральная функция R\left( \sin x;\ \cos x \right)=\frac{1}{\sin x} является рациональной функцией от \sin x и \cos x, поэтому для нахождения указанного интеграла применим универсальную тригонометрическую подстановку:

    \[\int{\frac{dx}{\sin x}}\ \left\| \begin{matrix} 				  \text{tg}\ \frac{x}{2}=t \\  				  \sin x=\frac{2t}{1+{{t}^{2}}} \\  				  dx=\frac{2dt}{1+{{t}^{2}}} \\  				\end{matrix} \right\|=\int{\frac{\frac{2dt}{1+{{t}^{2}}}}{\frac{2t}{1+{{t}^{2}}}}}=\int{\frac{dt}{t}}=\ln \left| t \right|+C=\ln \left| \text{tg}\ \frac{x}{2} \right|+C\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Решить интеграл

    \[ \int{\frac{dx}{\sin x+\cos x}} \]

Решение Подынтегральная функция является рациональной функцией от синуса и косинуса, поэтому для нахождения заданного интеграла можно применить универсальную тригонометрическую подстановку \text{tg}\frac{x}{2}=t:

    \[\int{\frac{dx}{\sin x+\cos x}}\ \left\| \begin{matrix} 				  \text{tg}\ \frac{x}{2}=t \\  				  \sin x=\frac{2t}{1+{{t}^{2}}} \\  				  \cos x=\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}} \\  				  dx=\frac{2dt}{1+{{t}^{2}}} \\  				\end{matrix} \right\|=\int{\frac{\frac{2dt}{1+{{t}^{2}}}}{\frac{2t}{1+{{t}^{2}}}+\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}}}=2\int{\frac{dt}{2t+1-{{t}^{2}}}}=\]

    \[=-2\int{\frac{dt}{{{t}^{2}}-2t-1}}=-2\int{\frac{dt}{{{t}^{2}}-2t+1-2}}=-2\int{\frac{dt}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}-2}}=\]

    \[=2\int{\frac{dt}{2-{{\left( t-1 \right)}^{2}}}}=2\cdot \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln \left| \frac{\sqrt{2}+\left( t-1 \right)}{\sqrt{2}-\left( t-1 \right)} \right|+C=\frac{\sqrt{2}}{2}\ln \left| \frac{\sqrt{2}+\text{tg}\ \frac{x}{2}-1}{\sqrt{2}-\text{tg}\ \frac{x}{2}+1} \right|+C\]

Ответ