Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Геометрический и физический смысл определенного интеграла

Геометрический смысл определенного интеграла

Если функция y=f\left( x \right) непрерывна и положительна на некотором отрезке \left[ a;\ b \right], то интеграл \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx} равен площади криволинейной трапеции, которая ограничена осью абсцисс, графиком функции y=f\left( x \right) и вертикальными прямыми x=a и x=b (рис. 1):

    \[S=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\]

ПРИМЕР 1
Задание Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y={{x}^{2}}, осью абсцисс и вертикальными прямыми x=1 и x=2.
Решение Согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, имеем, что искомая площадь равна

    \[S=\int\limits_{1}^{2}{{{x}^{2}}dx}=\left. \frac{{{x}^{3}}}{3} \right|_{1}^{2}=\frac{1}{3}\cdot \left( {{2}^{3}}-{{1}^{3}} \right)=\frac{1}{3}\cdot 7=\frac{7}{3}\]

Помните, что мы искали площадь криволинейной трапеции, поэтому ответ выражается в квадратных единицах.

Ответ

Физический смысл определенного интеграла

Пусть некоторая материальная точка M перемещается под действием силы F=F\left( x \right), которая направлена вдоль оси абсцисс (здесь x – абсцисса движущейся точки M).

Работа переменной силы F, величина которой есть непрерывная функция F=F\left( x \right), действующей на отрезке \left[ a;\ b \right], равна определенному интегралу от величины F\left( x \right) силы, взятому по этому отрезку:

    \[A=\int\limits_{a}^{b}{F\left( x \right)dx}\]

ПРИМЕР 2
Задание Найти работу материальной точки, которая перемещается под действием силы F\left( x \right)=x-2 на отрезке \left[ 2;\ 4 \right].
Решение По физическому смыслу определенного интеграла, искомая работа равна

    \[A=\int\limits_{2}^{4}{\left( x-2 \right)dx}=\left. \left( \frac{{{x}^{2}}}{2}-2x \right) \right|_{2}^{4}=\frac{{{4}^{2}}}{2}-2\cdot 4-\left( \frac{{{2}^{2}}}{2}-2\cdot 2 \right)=2\]

Ответ A=2