Геометрический и физический смысл определенного интеграла

Геометрический смысл определенного интеграла

Если функция $y=f\left( x \right)$ непрерывна и положительна на некотором отрезке $\left[ a;\ b \right]$ , то интеграл $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$ равен площади криволинейной трапеции, которая ограничена осью абсцисс, графиком функции $y=f\left( x \right)$ и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$ (рис. 1):

$S=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}$

ПРИМЕР 1

Задание

Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y={{x}^{2}}$ , осью абсцисс и вертикальными прямыми $x=1$ и $x=2$ .

Решение

Согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, имеем, что искомая площадь равна

$S=\int\limits_{1}^{2}{{{x}^{2}}dx}=\left. \frac{{{x}^{3}}}{3} \right|_{1}^{2}=\frac{1}{3}\cdot \left( {{2}^{3}}-{{1}^{3}} \right)=\frac{1}{3}\cdot 7=\frac{7}{3}$

Помните, что мы искали площадь криволинейной трапеции, поэтому ответ выражается в квадратных единицах.

Ответ

Физический смысл определенного интеграла

Пусть некоторая материальная точка $M$ перемещается под действием силы $F=F\left( x \right)$ , которая направлена вдоль оси абсцисс (здесь $x$ – абсцисса движущейся точки $M$ ).

Работа переменной силы $F$ , величина которой есть непрерывная функция $F=F\left( x \right)$ , действующей на отрезке $\left[ a;\ b \right]$ , равна определенному интегралу от величины $F\left( x \right)$ силы, взятому по этому отрезку:

$A=\int\limits_{a}^{b}{F\left( x \right)dx}$

ПРИМЕР 2

Задание	Найти работу материальной точки, которая перемещается под действием силы $F\left( x \right)=x-2$ на отрезке $\left[ 2;\ 4 \right]$ .
Решение	По физическому смыслу определенного интеграла, искомая работа равна $A=\int\limits_{2}^{4}{\left( x-2 \right)dx}=\left. \left( \frac{{{x}^{2}}}{2}-2x \right) \right\|_{2}^{4}=\frac{{{4}^{2}}}{2}-2\cdot 4-\left( \frac{{{2}^{2}}}{2}-2\cdot 2 \right)=2$
Ответ	$A=2$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Геометрический и физический смысл определенного интеграла

Геометрический смысл определенного интеграла

Физический смысл определенного интеграла