Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Решение интегралов методом подстановки

Рассмотрим неопределенный интеграл \int{f\left( x \right)dx} некоторой функции f\left( x \right). Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Переход от переменной интегрирования x к новой переменной t заменой (подстановкой) x=\phi \left( t \right) называется методом подстановки (заменой переменной) в неопределенном интеграле.

Этот процесс описывается следующим образом:

    \[\int{f\left( x \right)dx}=\int{f\left( \phi \left( t \right) \right)\cdot {\phi }'\left( t \right)dt}=F\left( t \right)+C=F\left( {{\phi }^{-1}}\left( x \right) \right)+C\]

Здесь обратная функция t={{\phi }^{-1}}\left( x \right) описывает зависимость новой переменной t от старой переменной x.

ЗАМЕЧАНИЕ
Дифференциал dx должен быть обязательно заменен на дифференциал новой переменной dt.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти интеграл \int{{{\sin }^{3}}x\cos xdx}
Решение Заменяем синус новой переменной, тогда

    \[\int{{{\sin }^{3}}x\cos xdx}\ \left\| \begin{matrix} 				 \sin x=t \\  				 \cos xdx=dt \\  				\end{matrix} \right\|=\int{{{t}^{3}}dt}=\frac{{{t}^{4}}}{4}+C=\frac{{{\sin }^{4}}x}{4}+C\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Решить интеграл \int{x{{\left( x+1 \right)}^{100}}dx}
Решение Делаем следующую замену:

    \[\int{x{{\left( x+1 \right)}^{100}}dx}\ \left\| \begin{matrix} 				  x+1=t \\  				  x=t-1 \\  				  dx=dt \\  				\end{matrix} \right\|=\int{\left( t-1 \right)\cdot {{t}^{100}}dt}=\int{\left( {{t}^{101}}-{{t}^{100}} \right)dt}=\]

    \[=\int{{{t}^{101}}dt}-\int{{{t}^{100}}dt}=\frac{{{t}^{102}}}{102}-\frac{{{t}^{101}}}{101}+C=\frac{{{\left( x+1 \right)}^{102}}}{102}-\frac{{{\left( x+1 \right)}^{101}}}{101}+C\]

Ответ