Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная интеграла

Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

    \[ {{\left( \int{f\left( x \right)dx} \right)}^{\prime }}=f\left( x \right) \]

Например. {{\left( \int{{{x}^{2}}dx} \right)}^{\prime }}={{x}^{2}}

Рассмотрим определенный интеграл с переменным верхним пределом

    \[\int\limits_{a}^{x}{f\left( t \right)dt}\]

ТЕОРЕМА
Теорема (основная теорема математического анализа). Производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом:

    \[{{\left( \int\limits_{a}^{x}{f\left( t \right)dt} \right)}^{\prime }}=f\left( x \right)\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР
Задание Задана функция g\left( x \right) . Найти {g}'\left( x \right) .

    \[g\left( x \right)=\int\limits_{0}^{x}{\sqrt{1+{{t}^{2}}}dt}\]

Решение Подынтегральная функция f\left( t \right)=\sqrt{1+{{t}^{2}}} является непрерывной, тогда, согласно теореме, искомая производная

    \[{g}'\left( x \right)={{\left( \int\limits_{0}^{x}{\sqrt{1+{{t}^{2}}}dt} \right)}^{\prime }}=f\left( x \right)=\sqrt{1+{{x}^{2}}}\]

Ответ {g}'\left( x \right)=\sqrt{1+{{x}^{2}}}