Производная интеграла

Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

${{\left( \int{f\left( x \right)dx} \right)}^{\prime }}=f\left( x \right)$

Например. ${{\left( \int{{{x}^{2}}dx} \right)}^{\prime }}={{x}^{2}}$

Рассмотрим определенный интеграл с переменным верхним пределом

$\int\limits_{a}^{x}{f\left( t \right)dt}$

ТЕОРЕМА

Теорема (основная теорема математического анализа). Производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом:

${{\left( \int\limits_{a}^{x}{f\left( t \right)dt} \right)}^{\prime }}=f\left( x \right)$

Примеры решения задач

ПРИМЕР

Задание	Задана функция $g\left( x \right)$ . Найти ${g}'\left( x \right)$ . $g\left( x \right)=\int\limits_{0}^{x}{\sqrt{1+{{t}^{2}}}dt}$
Решение	Подынтегральная функция $f\left( t \right)=\sqrt{1+{{t}^{2}}}$ является непрерывной, тогда, согласно теореме, искомая производная ${g}'\left( x \right)={{\left( \int\limits_{0}^{x}{\sqrt{1+{{t}^{2}}}dt} \right)}^{\prime }}=f\left( x \right)=\sqrt{1+{{x}^{2}}}$
Ответ	${g}'\left( x \right)=\sqrt{1+{{x}^{2}}}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Производная интеграла

Примеры решения задач